南通市2015届高三第二次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1． 命题“ ， ”的否定是“ ▲ ”．
【答案】 ，
2． 设 ( 为虚数单位， ， )，则 的值为 ▲ ．
【答案】0
3． 设集合 ， ，则 ▲ ．
【答案】
4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．
【答案】11
5． 一种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)
如下：9.8，9.9，10.1，10，10.2，则该组数据的方差为 ▲ ．
【答案】0.02
6． 若函数 的图象与 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数 的值
为 ▲ ．
【答案】
7． 在平面直角坐标系 中，若曲线 在 ( 为自然对数的底数)处的切线与直线
垂直，则实数 的值为 ▲ ．
【答案】
8． 如图，在长方体 中， 3 cm， 2 cm， 1 cm，则三棱锥
的体积为 ▲ cm3．
【答案】1
9． 已知等差数列 的首项为4，公差为2，前 项和为 ．
若 ( )，则 的值为 ▲ ．
【答案】7
10．设 ( )是 上的单调增函数，则 的值为 ▲ ．
【答案】6
11．在平行四边形 中， ，则线段 的长为 ▲ ．
【答案】
12．如图，在△ABC中， ， ， ，点 在边 上，
45°，则 的值为 ▲ ．
【答案】
13．设 ， ， 均为大于1的实数，且 为 和 的等比中项，则 的最小值为 ▲ ．
【答案】
14．在平面直角坐标系 中，圆 ： ，圆 ： ．
若圆 上存在一点 ，使得过点 可作一条射线与圆 依次交于点 ， ，满足 ，
则半径r的取值范围是 ▲ ．
【答案】
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在四面体 中，平面 平面 ， 90°． ， ， 分别为棱 ，
， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 ．
证明：（1）因为 ， 分别为棱 ， 的中点，
所以 ， …… 2分
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ． …… 6分
（2）因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ，
又 °，故 ． …… 8分
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 且 平面 ，
所以 平面 ． …… 11分
又 平面 ，
平面 平面 ． …… 14分
（注：若使用真命题“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”证明“ 平面 ”，扣1分．）
16．（本小题满分14分）
体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下：
等级 优 良 中 不及格
人数 5 19 23 3
（1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；
（2）测试成绩为“优”的3名男生记为 ， ， ，2名女生记为 ， ．现从这5人中
任选2人参加学校的某项体育比赛．
① 写出所有等可能的基本事件；
② 求参赛学生中恰有1名女生的概率．
解：（1）记“测试成绩为良或中”为事件 ，“测试成绩为良”为事件 ，“测试成绩为中”
为事件 ，事件 ， 是互斥的. …… 2分
由已知，有 ． …… 4分
因为当事件 ， 之一发生时，事件 发生，
所以由互斥事件的概率公式，得
． …… 6分
（2）① 有10个基本事件： ， ， ， ， ， ，
， ， ， ． …… 9分
② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件 ．在上述等可能的10个基本事件中，
事件 包含了 ， ， ， ， ， ．
故所求的概率为 ．
答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为 ；
（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为 ． ……14分
（注：不指明互斥事件扣1分；不记事件扣1分，不重复扣分；不答扣1分．事件 包含的6种基本事件不枚举、运算结果未化简本次阅卷不扣分．）
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系 中，已知向量 (1，0)， (0，2).设向量 ( ) ，
，其中 .
（1）若 ， ，求x y的值；
（2）若x y，求实数 的最大值，并求取最大值时 的值.
解：（1）（方法1）当 ， 时， ， ( )， …… 2分
则 ． …… 6分
（方法2）依题意， ， …… 2分
则
． …… 6分
（2）依题意， ， ，
因为x y，
所以 ，
整理得， ， …… 9分
令 ，
则
. …… 11分
令 ，得 或 ，
又 ，故 .
列表：
故当 时， ，此时实数 取最大值 . …… 14分
（注：第（2）小问中，得到 ， ，及 与 的等式，各1分．）
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左顶点为 ，右焦点为
. 为椭圆上一点，且 .
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，求椭圆的离心率；
（3）求证：以 为圆心， 为半径的圆与椭圆的
右准线 相切.
解：（1）因为 ， ，所以 ，即 ，
由 得， ，即 , …… 3分
又 ，
所以 ，解得 或 (舍去) ． …… 5分
（2）当 时, ，
由 得， ，即 ，故 ， …… 8分
所以 ，解得 （负值已舍）． …… 10分
（3）依题意，椭圆右焦点到直线 的距离为 ，且 ，①
由 得， ,即 , ②
由①②得， ，
解得 或 (舍去). …… 13分
所以
，
所以以 为圆心， 为半径的圆与右准线 相切. …… 16分
（注：第（2）小问中，得到椭圆右焦点到直线 的距离为 ，得1分；直接使用焦半
径公式扣1分．）
19．（本小题满分16分）
设 ，函数 ．
（1）若 为奇函数，求 的值；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）当 时，求函数 零点的个数．
解：（1）若 为奇函数，则 ，
令 得， ，即 ，
所以 ，此时 为奇函数． …… 4分
（2）因为对任意的 ， 恒成立，所以 ．
当 时，对任意的 ， 恒成立，所以 ； …… 6分
当 时，易得 在 上是单调增函数，在 上
是单调减函数，在 上是单调增函数，
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ，所以a不存在；
当 时， ，解得 ，
所以 ；
综上得， 或 ． …… 10分
（3）设 ，
令
则 ， ，
第一步，令 ，
所以，当 时， ，判别式 ，
解得 ， ；
当 时，由 得，即 ，
解得 ；
第二步，易得 ，且 ，
① 若 ，其中 ，
当 时， ，记 ，因为对称轴 ，
，且 ，所以方程 有2个不同的实根；
当 时， ，记 ，因为对称轴 ，
，且 ，所以方程 有1个实根，
从而方程 有3个不同的实根；
② 若 ，其中 ，
由①知，方程 有3个不同的实根；
③ 若 ，
当 时， ，记 ，因为对称轴 ，
，且 ，所以方程 有1个实根；
当 时， ，记 ，因为对称轴 ，
，且 ，
， …… 14分
记 ，则 ，
故 为 上增函数，且 ， ，
所以 有唯一解，不妨记为 ，且 ，
若 ，即 ，方程 有0个实根；
若 ，即 ，方程 有1个实根；
若 ，即 ，方程 有2个实根，
所以，当 时，方程 有1个实根；
当 时，方程 有2个实根；
当 时，方程 有3个实根．
综上，当 时，函数 的零点个数为7；
当 时，函数 的零点个数为8；
当 时，函数 的零点个数为9． …… 16分
（注：第（1）小问中，求得 后不验证 为奇函数，不扣分；第（2）小问中利用分离参数法参照参考答案给分；第（3）小问中使用数形结合，但缺少代数过程的只给结果分．）
20．（本小题满分16分）
设 是公差为 的等差数列， 是公比为 ( )的等比数列．记 ．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）已知数列 的前4项分别为4，10，19，34．
① 求数列 和 的通项公式；
② 是否存在元素均为正整数的集合 ， ，…， ( ， )，使得数列
， ，…， 为等差数列？证明你的结论．
解：（1）证明：依题意，
， …… 3分
从而 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列． …… 5分
（2）① 法1：由（1）得，等比数列 的前3项为 ， ， ，
则 ，
解得 ，从而 ， …… 7分
且
解得 ， ，
所以 ， ． …… 10分
法2：依题意，得 …… 7分
消去 ，得
消去 ，得
消去 ，得 ，
从而可解得， ， ， ，
所以 ， ． …… 10分
② 假设存在满足题意的集合 ，不妨设 ， ， ， ，且 ， ，
， 成等差数列，
则 ，
因为 ，所以 ， ①
若 ，则 ，
结合①得， ，
化简得， ， ②
因为 ， ，不难知 ，这与②矛盾，
所以只能 ，
同理， ，
所以 ， ， 为数列 的连续三项，从而 ，
即 ，
故 ，只能 ，这与 矛盾，
所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合 ． …… 16分
（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）
南通市2015届高三第二次调研测试
数学Ⅱ（附加题）
A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，从圆 外一点 引圆的切线 及割线 ， 为切点．
求证： ．
证明：因为PC为圆 的切线，
所以 ， …… 3分
又 ，
故△ ∽△ ， …… 7分
所以 ，
即 ． …… 10分
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
设 是矩阵 的一个特征向量，求实数 的值．
解：设 是矩阵 属于特征值 的一个特征向量，
则 ， …… 5分
故 解得 …… 10分
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在极坐标系中，设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求线段 中点
的极坐标．
解：（方法1）将直线 化为普通方程得， ，
将曲线 化为普通方程得， , …… 4分
联立 并消去 得， ，
解得 ， ，
所以AB中点的横坐标为 ，纵坐标为 ， …… 8分
化为极坐标为 ． …… 10分
（方法2）联立直线 与曲线 的方程组 …… 2分
消去 ，得 ，
解得 ， ， …… 6分
所以线段 中点的极坐标为 ，即 ． …… 10分
（注：将线段 中点的极坐标写成 的不扣分．）
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设实数 ， ， 满足 ，求证： ．
证明：由柯西不等式，得 ， …… 6分
因为 ，
故 ， …… 8分
当且仅当 ，即 ， ， 时取“ ”． …… 10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线 上．
（1）求 ， 的值；
（2）过点 作 垂直于 轴， 为垂足，直线 与抛物线的另一交点为 ，点 在直线
上．若 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，且 ，求点 的坐标．
解：（1）将点 代入 ，
得 ， …… 2分
将点 代入 ，得 ，
因为 ，所以 ． …… 4分
（2）依题意， 的坐标为 ，
直线 的方程为 ，
联立 并解得 ， …… 6分
所以 ，
代入 得， ， …… 8分
从而直线 的方程为 ，
联立 并解得 ． …… 10分
23．（本小题满分10分）
设A，B均为非空集合，且A B ，A B ，…， ( 3， )．记A，
B中元素的个数分别为a，b，所有满足“a B，且b ”的集合对(A，B)的个数为 ．
（1）求a3，a4的值；
（2）求 ．
解：（1）当 3时，A B {1，2，3}，且A B ，
若a 1，b 2，则1 ，2 ，共 种；
若a 2，b 1，则2 ，1 ，共 种，
所以a3 ； …… 2分
当 4时，A B {1，2，3，4}，且A B ，
若a 1，b 3，则1 ，3 ，共 种；
若a 2，b 2，则2 ，2 ，这与A B 矛盾；
若a 3，b 1，则3 ，1 ，共 种，
所以a4 ． …… 4分
（2）当 为偶数时，A B {1，2，3，…，n}，且A B ，
若a 1，b ，则1 ， ，共 （考虑 ）种；
若a 2，b ，则2 ， ，共 （考虑 ）种；
……
若a ，b ，则 ， ，共 （考虑 ）种；
若a ，b ，则 ， ，这与A B 矛盾；
若a ，b ，则 ， ，共 （考虑 ）种；
……
若a ，b ，则 ，1 ，共（考虑 ） 种，
所以an … … ； …… 8分
当 为奇数时，同理得，an … ，
综上得， …… 10分
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