赣州市2015年高三年级摸底考试
理科数学 2015年3月
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点的坐标为
A． B． C． D．
3．已知函数 是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
① ；② ；③ ；④ ．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
4．已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，且焦点到一条渐近线的距离大于 ，则
A． B． C． D．
5．要从由 名成员组成的小组中任意选派 人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 ，则 的值为
A．4 B．5 C．6 D．7
6. 某同学想求斐波那契数列 （从第三项起每一项等
于前两项的和）的前 项的和，他设计了一个程序框图，
那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是
A． ；
B． ；
C． ；
D． ；
7．已知向量 ， ，若向量 满足 与 的夹角
为 ， ，则
A．1 B． C．2 D．
8．设 是公差不为零的等差数列，满足 ，则该
数列的前 项和等于
A． B． C． D．
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．
B．
C．
D．
10．如图是函数 图像的一部分，对不同的 ，若 ，有 ，则
A． 在 上是减函数 B． 在 上是减函数
C． 在 上是增函数 D． 在 上是减函数
11．过抛物线 的焦点且斜率为 的直线与 交于 、 两点，以 为
直径的圆与 的准线有公共点 ，若点 的纵坐标为 ，则 的值为
A． B． C． D．
12．已知函数 在 的最小值为 ，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分。
13． 展开式中的常数项为 ．
14．若不等式组 表示的平面区域是面积为 的三角形，则 的值 ．
15． 、 、 三点在同一球面上， ， 2，且球心O到平面 的距离为 ，则此球 的体积为 ．
16．已知数列 满足 ， 是其前 项和，若 ，且
，则 的最小值为 ．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ， ，求 、 的值．
（18）（本小题满分12分）
在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ， ， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）设 是棱 的中点， ， ，
求二面角 的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，
C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有16人．
（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；
（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，
6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和X的分布列和数学期望．
20. (本小题满分12分)
已知椭圆E： 的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于
原点对称的两点，且直线PA的斜率与直线QA的斜率之积为 ．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线 分别交于
C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为 、 ，求 的最小值．
21. (本小题满分12分)
设函数 （e为自然对数的底），曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 、 的值，并求函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，求证： ．
请考生在第22、23、24两题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分。
（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O
于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于点H．
（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；
（Ⅱ）若 ，求△BDF外接圆的半径．
（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的 轴的正半轴
重合．点A、B的极坐标分别为 、 （ ），曲线 的参数方程为 为参数
（Ⅰ）若 ，求 的面积；
（Ⅱ）设 为 上任意一点，且点 到直线 的最小值距离为 ，求 的值．
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数 ．
（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围．
赣州市2015年高三年级模底考试理科数学参考答案
一、选择题
1～5.BADAC； 6～10.BDCAC； 11～12.CD.
12.解：当 时， ，显然满足，故 ，排除A，B；
当 时， ， ，所以 在 上递减，所以 ，满足条件，排除C，故选D.
二、填空题
13． ； 14． ； 15． ； 16． .
16.解：由已知得： ， ，……， ，
，把以上各式相加得： ，
所以 ，即 ，所以
三、解答题
17．（1）由正弦定理得 …………………………………………2分
…………………………………………………………………………………3分
所以 ……………………………………………………4分
因为 ，故 ………………………………………………………………5分
所以 ……………………………………………………………………………………6分
（2）由 ，得 …………………………………………………………7分
由条件 ， ，
所以由余弦定理得 ………………………9分
解得 ………………………………………………………………………12分
18．（1）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ………………………………………………………………………1分
又 平面 ，所以 ……………………………………………………2分
又 ，所以PD⊥平面 ………………………………3分
而 平面PCD，故平面PCD⊥平面 ……………………4分
（2）如图，建立空间直角坐标系…………………………………5分
设 ，则 ，
， ， ， …………………6分
，则 得
， ……………………………………………………8分
设平面PEC的一个法向量 ，
由 得
令 ，则 ……………………………………………………………………9分
， ，设平面PEC的一个法向量 ，
由 得 ，令 ，则 ……………………10分
设二面角 的大小为 ，则 …………11分
故二面角 的余弦值为 ……………………………………………………12分
19．（1）因为“铅球”科目中成绩等级为 的考生有16人，
所以该班有 人……………………………………………………………………2分
所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为
………………………………………………4分
（2）设两人成绩之和为 ，则 的值可以为16，17，18，19，20 …………………6分
， ，
， …………………………………………9分
所以 的分布列为
16 17 18 19 20
……………………………………………10分
所以 …………………………11分
所以 的数学期望为 ……………………………………………………………………12分
20．（1）设 ，则 ……………………………………1分
，依题意有
又 ，所以解得
故 的方程为 ……………………………………………………………………5分
（2）设直线 的方程为 ，代入 的方程得
设 ，则 …………………………6分
直线MA的方程为 ，把 代入得
同理 ………………………………………………………………………………7分
所以 …………………………………8分
所以
……………………………………………………………9分
，令 ，则 ，
所以 ……………………………………………………………………10分
记 ，则 ……………………………………11分
所以 在 单调递增地，所以 的最小值为
故 的最小值为 …………………………………………………………………12分
21．（1）因为 ………………………………………………………1分
而 ，所以 ，解得 ………………………………………………2分
所以 ，因此 ………………………………………………………………3分
由 知，
当 时， ，当 且 时， ……………………………4分
故 的单调增区间是 ，减区间是 和 ………………………5分
（2）所证不等式等价于 ……………………………………6分
因为 ，先证 …………………………………7分
记
，记 ，则
由此可知， 在 上单调递减，在 上单调递增
因为 ， ，
故 在 只有一个零点 ………………………………………9分
且 ，
所以 在 递减，在 递增
所以当 时， ……………………………10分
即 ，又
所以 ………………………………11分
即 ，故 ……………………………………12分
选做题
22．（1）因为 为圆 的一条直径，所以 …………………………………2分
又 ，所以 四点共圆…………………………………………………4分
(2)因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得 ，代入解得AD=4………………………………………5分
所以 …………………………………………………6分
又△AFB∽△ADH，所以 ………………………………………………………7分
由此得 ………………………………………………………………8分
连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径， ……9分
故△BDF的外接圆半径为 ………………………………………………………………10分
23．（1） …………………………………………………4分
（2）依题意知圆心到直线 的距离为3…………………………………………………5分
当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 ，
显然，符合题意，此时 ……………………………………………………………6分
当直线 存在斜率时，设直线 的方程为 ………………………………7分
则圆心到直线AB的距离 ………………………………………………………8分
依题意有 ，无解…………………………………………………………………9分
故 …………………………………………………………………………………10分
24．（1）当 时， ……………………3分
根据图易得 的解集为 ……………………5分
（2）令 ，
由 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立………6分
由（1）知 的最小值为 ，所以 ………………………………8分
故实数a的取值范围为 ……………………………………………………10分
法（2） 易知 ，只需 且 ，解得 ．
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