河南省商丘市2015届高三第一次模拟考试数学（理）试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x｜0＜x＜2}，B＝{x｜｜x｜＞1}，则A∩B＝
A．（0，1） B．（1，2）
C．（－∞，－1）∪（0，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
2．若复数z满足（1＋i）z＝2－z，则｜z＋i｜＝
A． B． C．2 D．
3．已知命题p： ∈R，x－2＞lgx，命题q： ∈R， ＞0，则
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∨（ ）是假命题 D．命题p∧（ ）是真命题
4．已知向量a，b满足｜a｜＝1，a⊥b，则a－2b在a方向上的投影为
A．1 B． C．－1 D．
5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1＋cos40°），则α
等于
A．10° B．20°
C．70° D．80°
6．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于
A．63 B．31
C．127 D．15
7．已知抛物线 ＝4x与双曲线 （a＞0，b＞0）有
相同的焦点F，点A，B是两曲线的交点，若（ ＋ ）• ＝0，则双曲线的
离心率为
A． ＋2 B． ＋1 C． ＋1 D． ＋1
8．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为
A．4π B．8π
C．12π D．16π
9．设变量x，y满足约束条件： 则z＝｜x－3y｜
的最大值为
A．10 B．8
C．6 D．4
10．等比数列{ }的前n项和为 ， ＝4（a1＋a3＋…＋ ），a1a2a3＝27，则a6＝
A．27 B．8l C．243 D．729
11．给出下列四个结论：
①若a，b∈[0，1]，则不等式 ≤1成立的概率为 ；
②由曲线y＝ 与y＝ 所围成的封闭图形的面积为0．5；
③已知随机变量ξ服从正态分布N（3， ），若P（ξ≤5）＝m，则P（ξ≤1）＝
1－m；
④ 的展开式中常数项为 ．
其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数f（x）满足f（x）＝f（ ），当x∈[1，3]时，f（x）＝lnx，若在区间[ ，3]内，曲线g（x）＝f（x）－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是
A．（0， ） B．（0， ） C．[ ， ） D．[ ， ）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题－第21题为必考题．每个试题考生都必须做答。第22题－第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_______种．
14．若圆C： ＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是_____________。
15．已知函数y＝f（x－1）＋ 是定义在R上的奇函数，且f（0）＝－1，若g（x）＝1－
f（x＋1），则g（－3）＝______________
16．已知数列{ }通项公式为 ＝－n＋p，数列{ }通项公式为 ＝ ，设 ＝ 若在数列{ }中， ＞ （n∈N﹡,n≠8），则实数p的取值范围是_______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＋sinB＝2sinC，a＝2b．
（Ⅰ）证明：△ABC是钝角三角形；
（Ⅱ）若 ，求c的值．
18．（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：
日销售量 1 1．5 2
天数 10 25 15
频率 0．2 a b
若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；
（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面
BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°。
（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）设 ＝λ （0≤A≤1），且平面AB1E与BB1E
所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．
20．（本小题满分12分）
已知直线l的方程为y＝ x－2 ，又直线l过椭圆C： （a＞b＞0）的
右焦点，且椭圆的离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，1）的直线与椭圆C交于点A，B，求△AOB的面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知函数f（x）＝x＋alnx在x＝1处的切线l与直线x＋2y＝0垂直，函数g（x）＝f（x）
＋ －bx．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设x1，x2 （x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥ ，求g（x1）－g（x2）的最小值．
请考生在第22、23、24三道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ACED是圆内接四边形，AD、CE的延
长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC．
（Ⅰ）求证：BE＝2AD；
（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P（ ，1），倾斜角α＝ ，圆C的极坐标方程为 ＝ cos（θ
－ ）．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知a＋b＝1，对 ，b∈（0，＋∞）， ＋ ≥｜2x－1｜－｜x＋1｜恒成立，
（Ⅰ）求 ＋ 的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围。
商丘市2014—2015学年度第一次模拟考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
（1）B （2）B （3）D （4）A （5）C （6）A
（7）D （8）A （9）B （10）C （11）C （12）C
二、填空题（每小题5分，共20分）
（13）10； （14）4； (15) 2； （16） .
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）因为 ，由正弦定理得 ，
又 ，可得 ，……………………………3分
所以 ，
所以 为钝角，故 为钝角三角形．……………6分
（Ⅱ）由 ，得 ，……………………9分
所以 ，解得 ．…12分
（18）解：（Ⅰ） ， ，………………………2分
依题意，随机选取一天，销售量为 吨的概率 ，
设5天中该种商品有 天的销售量为1.5吨，则 ，
．…………5分
（Ⅱ） 的可能取值为 ，………………7分
则： ， ，
, ,
，
所以 的分布列为：
4 5 6 7 8
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
………10分
的数学期望 ．……12分
（19）解：（Ⅰ）因为 平面 , 平面 ， 所以 ，…1分
在 中， ，
由余弦定理得：
， 所以 ，…3分
故 , 所以 ,…………5分
又 ，∴ 平面 ．……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 两两垂直.以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 ， .………7分
所以 , 所以 ， ∴ ,
则 ， . …………8分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ， 得 ，
令 ，则 ，∴ ,………9分
. ∵ 平面 ， 是平面的一个法向量，………10分
∴ .
两边平方并化简得 ，所以 或 （舍去）．
∴ ……………12分
（20）解：（Ⅰ）∵ ，∴椭圆的焦点为直线 与 轴的交点，
∵直线 与 轴的交点为 ，∴椭圆的焦点为 ，∴ ，…1分
又∵ ，∴ ，∴ …………3分
∴椭圆方程为 ．……………4分
(Ⅱ) 直线 的斜率显然存在，设直线 方程为
设 ，由 ，得 ，
显然 ， …………6分
……8分
…10分
令 则 , ,
，即 时， 的最大值为 .…………12分
（21）解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， …………2分
又 与直线 垂直，∴ ，∴ ．……4分
(Ⅱ) ，
令 ，得 ，
,……………6分 ,…8分
， 所以设
，所以 在 单调递减， 10分 ， ，
∴ ，
故所求的最小值是 ．…………12分
（22）解：(Ⅰ)证明： 因为四边形 为圆内接四边形,所以 …1分
又 所以 ∽ ，则 .………3分
而 ，所以 .…………………4分
又 ，从而 ………………5分
(Ⅱ)由条件得 .………………6分
设 ，根据割线定理得 ，
即
所以 ，解得 ,即 .…………10分
（23）解：（Ⅰ）直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数）
……2分
由 ，得 ，
所以 ,………4分
得 ，即 ．…………5分
（Ⅱ）把 代入 ，得 ，…8分
∴ ．………10分
（24）解：（Ⅰ）∵ 且 ，
∴ ，………3分
当且仅当 ，即 ， 时，
取最小值9．………………5分
（Ⅱ）因为对 ，使 恒成立，
所以 ，………………7分
当 时，不等式化为 ， 解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ， 解得 ；
∴ 的取值范围为 .…………10分
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