南昌市2014—2015学年度高三第一次模拟测试
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效．
4．考试结束，将本试题和答题卡一并交同．
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3、如图，在正四棱柱 中，点 是面 内一点，则三棱锥 的正视图与侧视图的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4、已知过定点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点， 为坐标原点，当 的面积取到最大值时，直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．不存在
5、已知实数 ， 满足 ，若目标函数 的最大值与最小值的差为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
6、在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7、以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线 的一条渐近线倾斜角为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
8、如图所示程序框图，其功能是输入 的值，输出相应的 值．若要使输入的 值与输出的 值相等，则这样的 值有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
9、给出下列命题：
①若 ，则
② ， ， 是三个不同的平面，则“ ， ”是“ ”的充分条件
③已知 ，则
其中正确命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
10、如图， ， 分别是函数 （ ， ）的图象与两条直线 ， （ ）的两个交点，记 ，则 图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11、设无穷数列 ，如果存在常数 ，对于任意给定的正数 （无论多小），总存在正整数 ，使得 时，恒有 成立，就称数列 的极限为 ．则四个无穷数列：① ；② ；③ ；④ ，其极限为2共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
12、设函数 ，其中 ， ，存在 使得 成立，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分．第(13)题一第(21)题为必考题，每个考生都必须作答．第(22)题一第(24)题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、 ， ， ， 四封不同的信随机放入 ， ， ， 个不同的信封里，每个信封至少有一封信，其中 没有放入 中的概率是 ．
14、已知直三棱柱 中， ，侧面 的面积为 ，则直三棱柱 外接球表面积的最小值为 ．
15、已知三角形 中， ， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的取值范围是 ．
16、已知函数 ，若关于 的方程 有且只有一个实数解，则实数 的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，正项数列 满足 ．
求数列 ， 的通项公式；
若 对 均成立，求实数 的取值范围．
18、（本小题满分12分）某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩 服从正态分布 （满分为 分），已知 ， ，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．
求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间 ， ， 各有一位同学的概率；
记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间 的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 ．
19、（本小题满分12分）如图， 是圆 的直径， 、 是圆 上两点， ， 圆 所在的平面， ．
求证： 平面 ；
若 与平面 所成角的正弦值为 时，求 的值．
20、（本小题满分12分）已知圆 经过椭圆 （ ）的左、右焦点 、 ，且与椭圆 在第一象限的交点为 ，且 ， ， 三点共线．直线 交椭圆 于 ， 两点，且 （ ）．
求椭圆 的方程；
当三角形 的面积取到最大值时，求直线 的方程．
21、（本小题满分12分）已知函数 （ ）．
当 时，求 的极值；
若 ， 存在两个极值点 ， ，试比较 与 的大小；
求证： （ ， ）．
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示， 为圆 的切线， 为切点， 交圆 于 ， 两点， ， ， 的角平分线与 和圆 分别交于点 和 ．
求证： ；
求 的值．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
曲线 在点 处的切线为 ，求 的极坐标方程；
点 的极坐标为 ，且当参数 时，过点 的直线 与曲线 有两个不同的交点，试求直线 的斜率的取值范围．
24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 （ ）．
若 ，解关于 的不等式 ；
若对任意的 都有 ，求 的取值范围．
参考答案
一、选择题
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A A A C C B B B C D A
二、填空题
13. 14. 15. 16
三、解答题
17. （Ⅰ）解：等差数列 ， ， ， ，故 ………3分
， 得 ，
,满足通项公式，故 ………7分
（Ⅱ）设 恒成立 恒成立，设
当 时， ， 单调递减， ………10分
，故 . ………12分
18. 解：（Ⅰ） ， ，
所以所求概率 ； ………6分（每个结果各2分）
（Ⅱ） ，
所以 服从二项分别 ，
， ，………8分
， ，………10分
所以随机变量 的分布列是
0 1 2 3
（人）. ………12分
19. 解：（Ⅰ）作 于 ,连接 , ∥ …①
是圆 的直径， ，
, , ………2分
,
,
∥ …②，………4分
由①②，且 ,
平面 ∥平面 , 平面 , 平面
∥ 平面 ………6分
（Ⅱ）依题意，如图以A为原点，直线AB，AP分别为x,z轴建立空间坐标系，设
设面 的法向量为 ，设 与平面 所成角为
设 ， ， ………8分
………10分
………12分
20．（Ⅰ）解：如图圆 经过椭圆 的左右焦点 ,
三点共线, 为圆 的直径, , , ………2分
,
，解得 ， ………4分
椭圆 的方程 ， ………5分
（Ⅱ）点 的坐标 ， 所以直线的斜率为 ， ………6分
故设直线的方程为
，设
， ………8分
点 到直线的距离
………10分
当且仅当 ，即 ，直线的方程为 ………12分
21.解：（Ⅰ） ，定义域 ，
， 递减， 递增
故 ，没有极大值. ………3分
（Ⅱ） ， ，
………4分
， ，
， ………5分
设 ，当 时， ，
当 时， ， ………7分
在 上递减， ，即 恒成立
综上述 ………8分
（Ⅲ）当 时， 恒成立，即 恒成立
设 ，即 ，
………12分
22.解：（Ⅰ）∵ 为圆 的切线, 又 为公共角,
…………4分
（2）∵ 为圆 的切线, 是过点 的割线, ………6分
又∵
又由（Ⅰ）知 ,连接 ,则
， ………8分
………10分
23.解：（Ⅰ） 点 在圆上，故切线方程为 ………2分
，切线的极坐标方程： ………5分
（Ⅱ） 与半圆 相切时
， （舍去）……….8分
设点 ,
故直线 的斜率的取值范围为 . ………10分
24．解：（Ⅰ）当 时，不等式 即
显然 ，当 时，原不等式可化为： ……2分
当 时，原不等式可化为： 或
或 ∴ ………4分
综上得：当 时，原不等式的解集为 ………5分
（Ⅱ）∵对任意 都有 即 ， 恒成立 ……….6分
设 ， ， ,则对任意 ，
恒成立 ， ………7分
∵ 当 时 ∴函数 在 上单调递增，
∴ ………8分
又∵ ＝ ，∴ 在 上递减, 上递增
∴ . ………9分
故 ………10分
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