兰州市2015届高三3月诊断考试
数学（文）试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。
2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．复数 的实部是
A． B． C． D．
3．已知向量 ， 满足 ， ， ，则
A． B． C． D．
4．从数字 、 、 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 的概率为
A． B． C． D．
5．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = ．则
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的 的值是
A． B．
C． D．
7．在直三棱柱 中， ， ，则点 到平面 的距离为
A． B． C． D．
8．如图，程序输出的结果 , 则判断框中应填
A．
B．
C．
D．
9．已知不等式组 所表示的平面区域为 ，若直线 与平面区域 有公 共点，则 的取值范围为是
A． B．
C． D．
10．在直角坐标系 中，设 是曲线 ： 上任意一点， 是曲线 在点 处的切线，且 交坐标轴于 , 两点，则以下结论正确的是
A． 的面积为定值 B． 的面积有最小值为
C． 的面积有最大值为 D． 的面积 的取值范围是
11．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ，右顶点为 ，上顶点为 ，若椭圆 的中心到直线 的距离为 ，则椭圆 的离心率
A． B． C． D．
12．已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，若对于任意实数 ，有 ，且 为奇函数，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 ， ，则 ．
14．抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．
15．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是 ．
16．若函数 的图象与 轴交于点 ，过点 的直线 与函数 的图象交于 、 两点， 为坐标原点，则 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在等比数列 中，已知 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式．
（Ⅱ）若 分别为等差数列 的第3项和第5项，试求数列 的前 项和 ．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱 中，底面 是等腰梯形， ,
∥ ，顶点 在底面 内的射影恰为点 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）在 上是否存在点 ，使得
∥平面 ？若存在，确定
点 的位置；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）
兰州市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽
取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从
第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中
随机抽取2 名志愿者介绍宣传经验，求第4
组至少有一名志愿者被抽中的概率．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线 ： 的一条渐近线为 ，右焦点 到直线 的距离为 ．
（Ⅰ）求双曲线 的方程；
（Ⅱ）斜率为 且在 轴上的截距大于 的直线 与曲线 相交于 、 两点，已知 ，若 ，证明：过 、 、 三点的圆与 轴相切．
21．（本小题满分12分）
已知函数 （ 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若 ，函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围．
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。
22．（本小题满分10分）选 修4—1：几何证明选讲
如图，已知 切⊙ 于点 ，割线 交⊙ 于 、 两点， 的平分线和 、 分别交于点 、 ．求证:
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ） 求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（Ⅱ） 设 为曲线 上的动点，求点 到 上点的距离的最小值．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C D B C D B B C A A B
8．由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意
11. 解析：设椭圆 的的焦距为 ，由于直线 的方程为 ，所以 ，因 ，所以 ，解得 或 （舍），所以
二、填空题
13. 14. 15. 16.
15．解析 ：函数 ，则 ，
令 得 ，因为函数 有两个极值点，所以 有两个零点，等价于函数 与 的图象有两个 交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作 的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率 ，切线方程为 . 切点在切线上，则 ，又切点在曲线 上，则 ，即切点为（1，0）.切线方程为 . 再由直线 与曲线 有两个交点，知直线 位于两 直线 和 之间，其斜率2a满足：0＜2a＜1，解得实数a的取值范围是 .
16．解析：∵ ，∴ 的解为 ，即 ，而 恰为函数 图像的一个对称中心，∴ 、 关于 对称
∴
三、解答题
17. 解：（Ⅰ） 为等比数列
∴
∴
∴ …………6分
（Ⅱ）∵ , ,又因为 为等差数列
∴
∴
∴ …………12分
18. 解：(Ⅰ)证明:连接 ,则 平面 ,
∴
在等腰梯形 中,连接
∵ , , ∥
∴
∴ 平面
∴ …………6分
(Ⅱ)设 是 上的点
∵ ∥ ∴ ∥
因经过 、 的平面与平面 相交与 ，要是 ∥平面 ，则 ∥ ，即四边形 为平行四边形 ，此时 ，即点 为 的中点.
所以在 上存在点 ,使得 ∥平面 ，此时点 为 的中点.……12分
19. 解：（Ⅰ）第3组的 人数为0.3×100=30,
第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:
第3组: ×6=3；
第4组: ×6=2；
第5组: ×6=1；
即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分
（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为 , , ,第4组的2名志愿者为 , ,第5组的1名志愿者为 .则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
( , ), ( , ),( , ),( , ),( , ),
( , ),( ),( , ), ( , ),
( , ), , ), ( , ),
( , ),( , ),( , ),共有15种.
其中第4组的 2名志愿者 , 至少有一名志愿者被抽中的有:
( , ),( , ),( ),( , ), ( , ), ( , ),( , ),
( , ),( , ),共有9种,………10分
所以 第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为 …………12分
20. 解：（Ⅰ）依题意有 ，
∵
∴
∴ ，
∴
∴曲线 的方程为 ……………6分
（Ⅱ）设直线 的方程为 ，则 ， ， 的中点为
由 得
∴ ，
∵ ，即
∴ （舍）或
∴ ， 点的横坐标为
∵
∴
∴过 、 、 三点的圆以点 为圆心， 为直径
∵ 点的横坐标为
∴
∵
∴过 、 、 三点的圆与 轴相切 ……………12分
21. 解：（Ⅰ）函数 的定义域为
当 时， ，所以 在 上为增函数；
当 时，由 得
则:当 时, ,所以函数 在 上为减函数，
当 时, ,
所以函数 在 上为增函数. ……………6分
（Ⅱ）当 时， ，
∵ 在 上为增函数，
在 恒成立，
即 在 恒成立，
令 ， ，
，
令 ，
在 恒成立，
即 在 单调递增，
即 ，
即 在 单调递增，
所以 ． …………………12分
22. 证明: (Ⅰ) 切⊙ 于点 ,
∵ 平分
,
…………5分
(Ⅱ)
∽
同理 ∽ ,
…………10分
23. 解：(Ⅰ)由曲线 ： 得
即：曲线 的普通方程为：
由曲线 ： 得：
即：曲线 的直角坐标方程为: …………5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知椭圆 与直线 无公共 点，
椭圆上的点 到直线 的距离为
所以当 时， 的最小值为 …………10分
24. 解：（Ⅰ）由 得 ，
∴ ，即 ，
∴
∴ …………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,令
则，
∴ 的最小值为4，故实数 的取值范围是 ． …………10分
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