泰安市2015届高三下学期一模诊断测试
数学（理）试题
1.已知集合 则“ ”是“ ”的
A.充分而不必条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知i是虚数单位， ，则 等于
A. B.1 C.3 D.4
3.设随机变量 服从正态分布 ，则实数 等于
A. B. C.5 D.3
4.设等差数列 的前n项和为 ，则当 取最小值时，n等于
A.9 B.8 C.7 D.6
5.根据如下样本数据
得到的回归方程为 每增加1个单位，y就
A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位
C.增加1.2个单位 D.减少1.2个单位
6.已知O是坐标原点，点 ，若点 为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是
A. B. C. D.
7.已知 是满足 ，且使 取得最小值的正实数.若曲线 过点 ，则 的值为
A. B. C.2 D.3
8.某校开设A类课3门，B类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
A.15 种 B.30种 C.45种 D.90种
9.如图是函数 的图象，则函数 的零点所在的区间是
A. B.
C. D.
10.设 是定义在R上的偶函数，对任意 ，都有 ，且当 ，若在区间 内关于 的 恰有3个不同的实数根，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.
11.已知 ▲ .
12.若关于x的不等式 的解集为 ，则m= ▲ .
13.已知双曲线 的一条渐近线垂直于直线 ，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为 ▲ .
14.执行如图所示的程序框图，若输入n的值为10，则输出s的值为 ▲ .
15.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 ，体积分别为 ，若它们的侧面积相等，且 的值为 ▲ .
三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.
16.（本小题满分12分）
已知函数 的图像上相邻两个最高点的距离为 .
（I）求函数 的单调递增区间；
（II）若 三个内角A、B、C的对边分别为
，求a，b的值.
17. （本小题满分12分）
已知数列 前 项和 满足：
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
18. （本小题满分12分）
下表为某专业的学生的毕业综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知80~90分数段的学生数为21人.
（I）求该专业毕业生综合能力测试成绩在90~95分数段内的人数；
（II）现欲将90~95分数段内的毕业生派往甲、乙、丙三个单位，若向甲单位派往两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率分为 .求90~95分数段内男女各几人？
（III）在（II）的结论下，设随机变量 表示派往乙单位的三名学生中男生的人数，求 的分布列和数学期望.
19. （本小题满分12分）
如图正方形ABCD的边长为 ，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G， O为GC的中点， 平面ABCD.
（I）求证:AE//平面BCF；
（II）求证： 平面AEF；
（III）求二面角 余弦值的大小.
20. （本小题满分13分）
已知函数 的最小值为0.
（I）求 的解析式；
（II）若对任意 不等式 恒成立，求实数m的取值范围.
21. （本小题满分14分）
已知椭圆 的焦距为 ，且长轴长与短轴长之比为 ，点 是椭圆上任意一点，从原点O引圆 的两条切线分别交椭圆C于点M、N.
（I）求椭圆C的方程；
（II）求四边形OMRN面积的最大值.
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