福建省龙岩市2015届高三教学质量检查
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
参考公式：
样本数据 的标准差 锥体体积公式
其中 为样本平均数 其中 为底面面积， 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
其中 为底面面积， 为高 其中 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．如图，设全集 ， ， ，
则图中阴影部分所表示的集合是
A． B． C． D．
2．若命题 ： ；命题 ： ，则下列结论正确的是
A． 为假命题 B． 为假命题 C． 为假命题 D． 为真命题
3．已知函数 ，则
A． B． C． D．
4．某工厂对一批新产品的长度（单位： ）进行检测，如图是
检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为
A．
B．
C．
D．
5．函数 的大致图象为
6．已知 是以 为圆心的单位圆上的动点，且 ，则
A． B． C． D．
7．如图所示的程序框图输出的结果是 ，则判断框内应填的条件是
A． B．
C． D．
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，
则这个几何体的表面积是
A． B．
C． D．
9．已知 满足 ，且目标函数 的最小值为 ，
则实数 的值是 [来源:学优高考网gkstk]
A． B．
C． D．
10．已知双曲线 （ ）的渐近线与
圆 相切，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
11．已知函数 的部分图象如图所示， 是边长为 的等边三角形，为了得到 的图象，只需将 的图象
A．向左平移 个长度单位
B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位
D．向右平移 个长度单位
12．如图，已知正方体 的棱长为4，点 ，
分别是线段 ， 上的动点，点 是上底面 内
一动点，且满足点 到点 的距离等于点 到平面 的
距离，则当点 运动时， 的最小值是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上.）
13．已知 是虚数单位，复数 的模为________ .
14．如图，在平行四边形 中，点 在边 上，
若在平行四边形 内部随机取一个点 ，
则点 取自 内部的概率是 _________ .
15．在 中，已知 ， ，那么 的值是 ___________.
16．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数. 我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和. 例如： ， ， ，……依此方法可得： ，其中 ，则 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ，且 ， ， 成等比数列．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）从数列 中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第 项，……，按原来顺序组成一个新数列 ，记该数列的前 项和为 ，求 的表达式．
18．（本小题满分12分）
如图，平面 为圆柱 的轴截面，点 为底面圆周上
异于 的任意一点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 为 的中点，求证： 平面 ．
19．（本小题满分12分）
某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试. 甲、乙两人参加了
次考试，成绩如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩
乙的成绩
（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；
（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过 分，则称该次考试两人“水平相当”. 由上述 次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
20．（本小题满分12分）
若函数 的图象与直线 为常数)相切，并且切点的横坐标依次构成公差为 的等差数列．
（Ⅰ）求 及 的值；
（Ⅱ）求函数 在 上所有零点的和．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆 ： 与抛物线 ： 有相同焦点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）已知直线 过椭圆 的另一焦点 ，且与抛物线 相切于第一象限的点 ，设平行 的直线 交椭圆 于 两点，当△ 面积最大时，求直线 的方程．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1-5 CABCC 6-10 BCDBD 11-12 AD
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13． 14． 15． 16．
18．【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；考查学生的空间想象能力及推理论证能力．
证明：（Ⅰ） 为 的直径，点 为 上的任意一点
……………………………………………………………2分
又圆柱 中， 底面
,即 ………………………………………………4分
而
平面 ………………………………………………6分
（Ⅱ）（法一）取 中点 ，连结 、 ,
为 的中点
中， ,且 ……………………………8分
又圆柱 中， ,且
,
为平行四边形 ………………………………………………10分
……………………………………………………11分
而 平面 ， 平面
平面 ……………………………………………12分
（法一图） （法二图）
（Ⅱ）证明：（法二）连结 、 ,
为 的中点， 为 的中点
中，
而 平面 ， 平面 [来源:学优高考网gkstk]
平面 ………………………………………………………8分
又圆柱 中， ,且
为平行四边形
而 平面 ， 平面
平面 ……………………………………………………10分
平面 平面
平面
平面 …………………………………………………12分
19．【命题意图】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想.[来源:学优高考网]
解：（Ⅰ）解法一：
依题意有
……………………………………………2分
……3分
…4分
答案一： 从稳定性角度选甲合适. …………6分
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适. …………6分）
答案二： 乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适.…6分
解法二：因为甲 次摸底考试成绩中只有 次 ，甲摸底考试成绩不低于 的概率为 ； ………………………………………………………………………………2分
乙 次摸底考试成绩中有 次不低于 ，乙摸底考试成绩不低于 的概率为 ． ………………………………………………………………………………5分
所以选乙合适． …………………………………………………6分
（Ⅱ）依题意知 次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为 .“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为 .
从这 次摸底考试中任意选取 次有 共 种情况． ……………………………9分
恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共 共 种情况． ……………………………10分
次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率 ． ……………12分
20．【命题意图】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想．
解：（Ⅰ）
=
=
= …………………………………… 3分
依题意得函数 的周期为 且 ， [来源:学优高考网]
， ……………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 …………8分
又 ………………………10分
所有零点的和为 …………12分
21．【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．
解：（Ⅰ） 抛物线 的焦点为 ，
，又
椭圆方程为 ． ………………………………………………………4分
（Ⅱ）（法一）设 ， ，
直线 的方程为 即 且过点
，
切线 方程为 …………………………6分
因为 ，所以设直线 的方程为 ，
由 ，消 整理得 …………………………7分
，解得 ①
设 ， ，则
∴
…………………………8分
直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离为 ………………………………………9分
， ………………………………10分
由① ，
（当且仅当 即 时，取等号）[来源:学优高考网]
最大
所以，所求直线 的方程为： ． ……………………………………12分
（法二） ，由已知可知直线 的斜率必存在，
设直线
由 消去 并化简得
∵直线 与抛物线 相切于点 .
∴ ，得 . ………………………………5分
∵切点 在第一象限.
∴ ………………………………6分
∵ ∥
∴设直线 的方程为
由 ，消去 整理得 ， …………………7分
，解得 .
设 ， ，则
，
. ……8分
又直线 交 轴于
…10分
当 ，即 时， . …………11分
所以，所求直线 的方程为 . ………………………………12分
22．【命题意图】本题为导数、与不等式的综合,主要考查导数的应用.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．
解：（Ⅰ） ， ， …………………………3分
切线方程为 ， …………………………4分
令 ，得 为定值 …………………………………………5分
（Ⅱ）由 对 时恒成立，
得 对 时恒成立，
即 对 时恒成立，
………………………7分
记 ，
，
若 ， ， 在 上为增函数，
…………………………………………10分
若 ，则当 时， ， 为减函数，
则当 时， ， 为增函数，
， ………………………12分
令 ，则 ，
显然是增函数，
， 即 不合题意. ……………13分
综上，实数 的取值范围是 ． ………………………14分
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