江西省红色六校2015届高三第二次联考
文科数学试题
（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学）
命题、审题：分宜中学 刘日辉 遂川中学 郭爱平
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.复数 ( 是虚数单位)的共轭复数为( )
A . B. C. D.
2.设集合 ，则 等于( )
A. B. C. D.
则 ＝( )
A. B. C. D.
4.若幂函数 的图象经过点 ，
则它在点A处的切线方程是( )
A. B.
C. D.
5.已知一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
6.阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，
则判断框中应填入的条件为( )
A.i≤4 B. i≤5`
C. i≤6 D. i≤7
7.已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边在 直线 上，则 的值为( )
A. B. C. D.
8.设变量x，y满足 的最大值为( )
A.3 B.8 C. D.
9. 在 中， 是边 上的一点，且 则 的值为( )
A.0 B.4 C.8 D.-4
10.已知函数 若数列 满足 ，且 是递增数列，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.在x轴、y轴上截距相等且与圆 相切的直线L共有( )条
A.2 B.3 C.4 D.6
12. 已知 有两个不同的零点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.设 的内角 的对边分别为 ,且 ，则
14.在 内随机取两个数 ，则使函数 有零点的概率为 .
15.用两个平行平面同截一个直径为20cm的球面，所得截面圆的面积分别是 ，则这两个平面间的距离是___________cm.
16.点A是抛物线 与双曲线 的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A到抛物线 的准线的距离为 ，则双曲线 的离心率等于____________
三、简答题(每小题12分，共60分)
17.为了更好的了解某校高三学生期中考试的数学成绩情况，从所有高三学生中抽取40名学生，将他们的数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段： 后得到如图所示的频率分布直方图。
(1)若该校高三年级有1800人，试估计这次考试的数学成绩不低于60分的人数及60分以上的学生的平均分；
(2)若从 这两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生成绩之差的绝对值不大于10的概率。
18. 已知 是正数组成的数列， ，且点( )(n N*)在函数 的图象上.数列 满足 , 。
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求 的前n项和
19.(12分)
如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点.
(1)求证：平面EFG⊥平面PAD；
(2)若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积.
20.已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若对任意的 ,都有 成立，求 的取值范围.
21.已知点 是抛物线 的焦点，其中 是正常数， 都是抛物线经过点 的弦，且 ， 的斜率为 ，且 ， 两点在 轴上方.
(1) 求 ；
(2)①当 时，求 ；
②设△AFC与△BFD的面积之和为 ，求当 变化时 的最小值.
四、选做题(从下面三题中选做一题，共10分)
22.如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，
∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.
(1)证明：B、D、H、E四点共圆；
(2)证明：CE平分∠DEF.
23.已知圆的极坐标方程为： ,
(1)将极坐标方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x+y的最大值和最小值.
24.已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 的解集包含 ，求a的取值范围。
2015届红色六校联考文科数学试题参考答案
一选择题
B D A C , C A D B , B C B C
二填空题
13, 14, 15，2或14 16，
17.（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以 ． …………………………1分
解得 ． ………………………………………………………………………2分
根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为 ．……3分
由于高三年级共有学生1800人，可估计该校高三年级数学成绩不低于60分的人数约为 人． …………………………………..4分
可估计不低于60分的学生数学成绩的平均分为:
65× +75× +85× +95× =66.25 ………………………………….6分
（2）解：成绩在 分数段内的人数为 人， ……………… 7分成绩在 分数段内的人数为 人， …………………………………8分
若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有 种 ……………… 9分
如果两名学生的数学成绩都在 分数段内或都在 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在 分数段内，另一个成绩在 分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．…… 10分
则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为7种 ………………11分
所以所求概率为 ． ……………………………………………………12分
18. （Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n …………………………………………………………………………3分
从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬•••+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+•••+2+1
＝ =2n-1 ............................................................6分
（Ⅱ）Cn = n2n –n
令 ，由错位相减法可得 ...10分
从而 ..........................................12分
19.解：（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD 平面ABCD，CD⊥AD ∴CD⊥平面PAD…………………….（3分）
又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，
∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD
∵EF 平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；……………….（6分）
（2）∵EF∥CD，EF 平面EFG，CD 平面EFG，
∴CD∥平面EFG，
因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，
∴VM﹣EFG=VD﹣EFG， （8分）
取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，
∵EF⊥平面PAD，EH 平面PAD，∴EF⊥EH
于是S△EFH= EF×EH=2=S△EFG，
∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形
∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为 ， （10分）
因此，三棱锥M﹣EFG的体积VM﹣EFG=VD﹣EFG= ×S△EFG× = ． （12分）
21、（1）设
由 得
………………(2分)
由抛物线定义得
同理用
…………………(5分)
（2）①
…………………(7分)
当 时 ，
又 ，解得 ……………(8分)
②由①同理知 ,
由变形得 …………………(10分)
又
…………………(11分)
即当 时 有最小值 …………………(12分)
22.证明 (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，
所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
因为AD，CE是角平分线，
所以∠HAC＋∠HCA＝60°，
故∠AHC＝120°.
于是∠EHD＝∠AHC＝120°.
因为∠EBD＋∠EHD＝180°，
所以B、D、H、E四点共圆．…………5分
(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，
得∠HBD＝30°.
由(1)知B、D、H、E四点共圆．
所以∠CED＝∠HBD＝30°.
又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，
由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF＝30°，
所以CE平分∠DEF ……………………10分
23. (1) p² - 4√2pcos(θ-π/4) + 6 = 0 p² - 4√2p [cosθcos(π/4) + sinθsin(π/4)] + 6 = 0
即p² - 4√2p [cosθ (1/√2) + sinθ (1/√2)] + 6 = 0
即p² - 4pcosθ - 4psinθ + 6 = 0
即 x² + y² - 4x - 4y + 6 = 0
所以圆的方程为 (x - 2)² + (y - 2)² = 2 …………5分
(2) 设圆的参数方程为 x = 2 + √2cosα, y = 2 + √2sinα
则 x + y = 2+ √2cosα + 2 + √2sinα = 4 + √2(cosα + sinα) = 4 + √2 * √2 [cosα (1/√2) + sinα (1/√2)] = 4 + 2 [cosα sin(π/4) + sinα cos(π/4)] = 4 + 2sin(α + π/4)
当sin(α + π/4) = 1时, x + y 有最大值为6 ………8分
当sin(α + π/4) = -1时, x + y 有最小值为2………10分
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