九江市2015年第一次高考模拟统一考试
数 学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，时间120分钟．
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、设复数 ，则 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3、已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4、已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5、已知函数 （ ）的图象向左平移 个单位后得到 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6、在如下程序框图中，输入 ，若输出的 是 ，则程序框图中的判断框应填入（ ）
A． B． C． D．
7、已知抛物线的方程为 （ ），过抛物线上一点 和抛物线的焦点 作直线 交抛物线于另一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8、若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9、如图，网格纸上小正方形边长为 ，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10、已知点 为双曲线 右支上一点，点 ， 分别为双曲线的左、右焦点， 为 的内心，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
11、平面 截球 的球面得圆 ，过圆心 的平面 与 的夹角为 ，且平面 截球 的球面得圆 ．已知球 的半径为 ，圆 的面积为 ，则圆 的半径为（ ）
A． B． C． D．
12、已知定义在 上的函数，当 时， ，且对任意的实数 （ ，且 ），都有 ，若 有且仅有三个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-24题为选考题，学生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
14、已知直线 是函数 的切线，则实数 ．
15、等差数列 中， ， ， （ ），则数列 的公差为 ．
16、如图，在 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， 为 的面积，圆 是 的外接圆， 是圆 上一动点，当 取得最大值时， 的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）已知各项不为零的数列 的前 项和为 ，且满足 ．
求数列 的通项公式；
设数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
18、（本小题满分12分）如图所示，在长方体 中， （ ）， 、 分别是 和 的中点，且 平面 ．
求 的值；
求二面角 的余弦值．
19、（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
能否据此判断有 %的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在 分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
现从选择做几何题的 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 ，求 的分布列及数学期望 ．
附表及公式
．
20、（本小题满分12分）已知椭圆 的中心在坐标原点，右焦点为 ， 、 是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上异于 、 的动点，且 面积的最大值为 ．
求椭圆 的方程；
是否存在一定点 （ ），使得当过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点时， 为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．
21、（本小题满分12分）设函数 ， （其中 为自然对数的底数， ， 且 ），曲线 在点 处的切线方程为 ．
求 的值；
若对任意 ， 与 有且只有两个交点，求 的取值范围．
请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 交 于点 ，连接 、 、 、 ，延长 交 于 ．
证明： ；
证明： ．
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ．
写出直线 的极坐标方程与曲线 的普通方程；
若点 是曲线 上的动点，求 到直线 的距离的最小值，并求出 点的坐标．
24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
当 时，解不等式 ；
若存在实数 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．
九江市2015年第一次高考模拟统一考试
数 学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.解： ， ，故选C.
2.解： ，故选B.
3.解： ，故选B.
4.解： 故选B.
5.解：由题意得 又
即 ， 故选C.
6.解： 时， ； 时， ； 时， ； 时， ；…；
时， ，结束，故选B.
7.解： 联立方程组 ，得
， ，故选C.
8.解：依题意，得实数 满足 ，画出可行域如图所示，
其中 ，
，故选A.
9.解：直观图如图所示四棱锥
故此棱锥的表面积为 ，故选A.
10.解：设内切圆的半径为 ，
即
，故选B.
11.解：如图， ，
又
又 ，故选B.
12.解：如图所示，易得
依题意得 ， ，故选D.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.解： 的系数为 .
14.解:设切点为 ，则 ， ，又 ，
15.解： ，
解得 ，即 .
16.解：
设圆 的半径为 ，则
当 时， 取得最大值
建立如图直角坐标系，则 ， ， ，设 ，则
当且仅当 时， 取最大值 .
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解:（1）当 时， ………2分
当 时， ………① ………②
①-②得 ………4分
数列 是首项为2，公比为2的等比数列 ………6分
(2) ………7分
两式相减得 …11分
………12分
18.解：以 为原点， 、 、 为 轴的正方向建立空间直角坐标系.
设 ，则
则 ， ， ， ， ， ，
……2分
(1)由已知可得 ， ， ………3分
, ， ………4分
即 ………5分
(2)设平面 的法向量为 ，则
，
………7分
由（1）可得 为平面 的法向量，且 ………9分
………11分
又二面角 为锐二面角 二面角 的余弦值为 ………12分
19.解:(1)由表中数据得 的观测值
………2分
所以根据统计有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关………3分
(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 分钟，则基本事件满足的区域为 (如图所示) ………4分
设事件 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 ………5分
由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为 ………7分
(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有 种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 种；恰有一人被抽到有 种；两人都被抽到有 种………8分
可能取值为 ， ， ，
的分布列为：
………11分
………12分
设过点 的直线方程为 ，代入 中得:
，设 、 ，
则 ， ………9分
综上得定点为 ，定值为3………12分
21.解：(1)由 ，得 ………1分
由题意得 ………2分 ………3分
(2)令 ，
则任意 ， 与 有且只有两个交点，等价于函数 在 有且只有两个零点.
由 ，得 ………5分
①当 时，由 得 ；由 得 .
此时 在 上单调递减，在 上单调递增.
，
（或当 时， 亦可）
要使得 在 上有且只有两个零点，
则只需 ，即
………7分
②当 时，由 得 或 ；由 得 .此时 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
此时
此时 在 至多只有一个零点，不合题意………9分
③当 时，由 得 或 ，由 得 ，此时 在 和 上单调递增，在 上单调递减，且 ， 在 至多只有一个零点，不合题意………11分
综上所述， 的取值范围为 ………12分
22.证明：(1) 为圆 的切线， 为切点， 为圆 的直径 ………1分
又 ………3分
又
………5分
(2)由弦切角定理可知，
四边形 为圆 的内接四边形 ………8分
又 ………10分
23.解:(1)由 ，得 ………1分
直线的极坐标方程为:
即 即 ………3分
即曲线 的普通方程为 ………5分
(2)设 ，
到直线的距离
………8分
当 时， 此时
当 点为 时， 到直线的距离最小，最小值为 ………10分
24.解:(1) ………1分
等价于 或 或 ………3分
解得 或 ，所以不等式的解集为 ………5分
(2)由不等式性质可知 ………8分
若存在实数 ，使得不等式 成立，则 ，解得
实数 的取值范围是 ………10分
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