荆州市部分县市2014－2015学年度高三上学期期末统考
数学试卷（理科）
考试时间：2015年2月8日15∶00－17∶00
满分：15 0分 考试时间：1 2 0分钟 2015.2
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数 设（i为虚数单位），z的共轭复数为 ，则在复平面内 对应的点的坐标为
A．（1，1） B．（-1，1） C．（1，-1） D．（-1，-1）
2．设全集U=R，A={x|x(x-2)<0}，B={x|y=ln(1-x)<0}，则图
中阴影部分表示的集合为
A．{x|0<x≤1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|x≥1} D．{x|x≤1}
3．已知命题p：“ x∈[1，2]，x2-a≥0”，命题q:“ x∈R
使x2+2ax+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
4．函数y=sin2x+acos2x的图象左移π个单位后所得函数的图象关于直线 对称，则a=
A. 1 B. 3 C. -1 D. -3
5．在区域 内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为
A． B． C． D．
6．甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种
A. 30 B. 36 C. 60 D.72
7．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列共有
A．6项 B．8项 C．10项 D．12项
8．在ΔABC中，若a=4，b=3， ，则B=
A． B． C． 或 D．
9．过双曲线 =1(a>0，b>0)的左焦点F(-c，0)作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若|FE|=|EP|，则双曲线离心率为
A． B． C． D．
10．定义函数 = 则函数 在区间 内的所有零点的和为
A．n B．2n C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，考生共需作答5题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，横棱两可均不得分．
（一）必考题（11-14题）
11．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为 .
12．已知集合A={x|x=2k，k∈N*}，如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x= .
13．已知不等式 的解集为 ，点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为 .
14．当n为正整数时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（3）=3，N（10）=5，记S（n）=N（1）+N（2）+ N（3）…+N 则（1）S（4）= ； （2）S（n）= .
（二）选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．
15.（几何选讲选做题）以Rt⊿ABC的直角边AB为直径作圆O，圆O与斜边AC交于D，过D作圆O的切线与BC交于E，若BC=6，AB=8，则OE= .
16.（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为
，则点A(2， )到这条直线的距离为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）设函数 .
（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期；
（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若 ， ，且C为锐角，求sinA.
18．（本小题满分12分）设等差数列 的前n项和为 ，且 ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 求 的前n项和 .
19．（本小题满分12分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4；从盒中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值为X，求随机变量X的分布和数学期望.
20．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示（转下页），其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.
（1）求证：BN ；
（2）设 为直线 与平面 所成的角，求 的值；
（3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP//平面CNB1 ，求 ．
（第20题图）
21．（本小题满分13分）某公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 元的管理费，预计每件产品的售价为 元时，一年的销售量为 万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品售价为多少元时，分公司一年的利润L最大并求出L的最大值Q（a）.
22．（本小题满分14分）已知f(x)=ex-t(x+1).
（1）若f(x)≥0对一切正实数x恒成立，求t的取值范围；
（2）设 ，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1≠x2)是曲线y=g(x)上任意两点，若对任意的t≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证： (n∈N*).
荆州市部分县市2014－2015学年度高三上学期期末统考
数学（理科）参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C C A D A A D
二、填空题
11. 20 12. 11 13 . 9 14. 86
15 5 16
三 解答题
17 【解】（1）
.………3′
∴当 ，即 (k∈Z)时， ，………4′
f(x)的最小正周期 ，………5′
故函数f(x)的最大值为 ，最小正周期为π. ………6′
（2）由 ，即 ，解得 。
又C为锐角，∴ . ………8′∵ ，∴ .
∴
. ………12′
18、解（1）设等差数列 的前项为 ，公差为d，由 得
解得 因此 …………………………………………5分
（2）已知
当n=1时，
当 时，
由（1）知 ……………………………………（9分）
又
则
两式减得：
•••••••••••••••••••••••••••（12分）
19、（1）设“取出”的4张一次卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则
取出的4张卡片中含有编号为3的卡片的概率为 ••••••••（5分）
（2）随机变X的所有可能取值为1、2、3、4
随机变量分布列是：
X 1 2 3 4
P
••••••••（10分）
••••••••••••（12）分
20解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA，BC，BB1两两垂直……………2分
以BA，BC，BB1分别为 轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4∵ =（4,4,0）•（-4,4,0）=-16+16=0， =（4,4,0）•（0,0,4）=0
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，∴BN⊥平面C1B1N；--------------4分
（2）设 为平面 的一个法向量，
则
则 -----------------8分
（3）∵M（2,0,0）．设P(0,0,a)为BC上一点,则 , ∵MP//平面CNB1,
∴
又 ,∴当PB=1时MP//平面CNB1 -------12分
21、解（1）
（2）
令 又
，而
当 时，
在 上是减函数
当 时，
时， 在 上是增函数.
时， 在 上是减函数.
综上：
22、【解】（1） (x>0)恒成立。
设 (x≥0)，则
∴ 在 单调递增， （x=1时取等号），∴t≤1………4′
（2）设x1、x2是任意的两实数，且x1<x2
，故
设 ，则F(x)在R上单增，………7′
即 恒成立。
即对任意的t≤-1，x∈R， 恒成立。
而
故m<3………9′
（3）由（1）知，
取 ，则
∴ (n∈N*)………14′ （14）
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