2015年温州市高三第一次适应性测试
数学（理科）试题（2015.2）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：
柱体的体积公式：V=Sh 其中S表示柱体的底面积， h表示柱体的高
锥体的体积公式：V= Sh 其中S表示锥体的底面积， h表示锥体的高
台体的体积公式 其中S1， S2分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高
球的表面积公式S=4πR2 球的体积公式V= πR3 其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合P={x|y= +1}，Q={y|y=x3}，则P∩Q= （ ）
A. B.[0，+∞) C.(0，+∞) D.[1，+∞)
2. 已知直线l: y=x与圆C: (x－a)2+y2=1，则“a= ”是“直线l与圆C相切”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3. 已知sinx+ cosx= ，则cos( －x)= （ ）
A.－ B. C.－ D.
4. 下列命题正确的是 （ ）
A.垂直于同一直线的两条直线互相平行
B.平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形
C. 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形
D. 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形
5. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在 上是单调函数，则ω应满足的条件是 （ ）
A.0<ω≤1 B. ω≥1 C. 0<ω≤1或ω=3 D. 0<ω≤3
6. 设F是双曲线 的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q（在第一象限内），使得 ，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A.(1，3) B.(3，+∞) C.(1，2) D. (2，+∞)
7. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知二面角A1－BD－A的大小为 ，若空间有一条直线l与
直线CC1所成的角为 ，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
8. 过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到
另一个部分上。则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为 （ ）
A.2 B.2(3－ ) C. 4(2－ ) D. 4(3－2 )
非选择题部分（共110分）
二、 填空题 ：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分。
9. 设函数f(x)= ，则f(－2)= ；
使f(a)<0的实数a的取值范围是 .
10.设{an}为等差数列，Sn为它的前n项和
若a1－2a2=2，a3－2a4=6，则a2－2a3= ，S7= .
11.如图是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，
俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形。
则该几何体的体积等于 cm3，它的表面积等于 cm2.
（第11题图）
12. 抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，P为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP中点M的
轨迹方程为
13. 已知a，b∈R，若a2+b2－ab=2，则ab的取值范围是
14. 设实数x，y 满足不等式组 ，若|ax－y|的最小值为0，则实数a的最小值与最大值
的和等于 .
15. 设 ，∠AOB=60°， ，且λ+＝2，则 在 上的投影
的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题满分15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b=2，c=4，
sinA=2sinB.
(Ⅰ) 求△ABC的面积；
(Ⅱ) 求sin(2A－B)．
17．（本题满分15分）如图，在四面休ABCD中，
已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，
(Ⅰ) 求证：AC⊥BD；
(Ⅱ)若平面ABD⊥平面CBD，且BD= ，
求二面角C－AD－B的余弦值。
（第17题图）
18. （本题满分15分）已知椭圆C: 的下顶点为B(0，－1)，B到焦点的距离为2.
(Ⅰ)设Q是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值；
(Ⅱ)直线l过定点P(0，2)与椭圆C交于两点M，N，若△BMN的面积为 ，求直线l的方程。
19．（本题满分15分）对于任意的n∈N*，数列{an}满足 .
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 求证：对于n≥2，
20．（本题满分14分）已知函数f(x)= ，其中k，b为实数且k≠0.
（I）当k>0时，根据定义证明f(x)在(－∞，－2)单调递增；
（II）求集合Mk={b|函数f(x)有三个不同的零点}.
2015年温州市高三第一次适应性测试
数学（理科）试题参考答案 2015.2
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B D C A C D
二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分.
9． ； ． 10． ； ． 11． ； ．
12． ； ． 13． ． 14． ． 15． ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本题15分）解法一：（I）由 ．…………………1分
又∵ ，∴ ． ………………………………………………2分
． …………………………………4分
．……………………………………5分
∴ ．………………………………7分
（II） ．……………………………9分
． ………………………………10分
．………………………………11分
．………………………………………………13分
∴ …………………………………14分
．…………………………………………15分
解法二：（I）由 ． …………………………………1分
又∵ ，∴ ． ……………………………………………2分
又 ，可知△ 为等腰三角形． ………………………………………3分
作 于 ，则 ． …………5分
∴ ．……………………………7分
（II） ．…………………………9分
．…………………………………10分
由（I）知 ．……………………………………11分
∴ ………………………………………13分
………………………………………………………………14分
． ……………………………………………………15分
17．（本题15分）（I）证明（方法一）：∵ ， ， ．
∴ ． ∴ ．………………………2分
取 的中点 ，连结 ，则 ， ．
………………………………………………………………3分
又∵ ， ……………………………………4分
平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， ……………………………………5分
∴ ………………………………………………6分
（方法二）：过 作 ⊥ 于点 ．连接 ．…1分
∵ ， ， ．
∴ ．∴ ⊥ ．…………………3分
又∵ ，……………………………………4分
平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．……………………………………5分
又∵ 平面 ，
∴ ．……………………………………………6分
（方法三）： ………………2分
………………………………3分
………4分
，……………………5分
∴ ．……………………………………………6分
（II）解（方法一）：过 作 ⊥ 于点 ．则 平面 ，
又∵平面 ⊥平面 ，平面 平面 ，
∴ ⊥平面 ． ……………………………………8分
过 做 ⊥ 于点 ，连接 ． ………………9分
∵ ⊥平面 ，∴ ⊥ ，又 ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥ ．…………………10分
∴ 为二面角 的平面角． …………11分
连接 ．∵ ，∴ ⊥ ．
∵ ， ，
∴ ， ．∵ ，∴ ． ………12分
∴ ∴ ．…………………………13分
∴ ，…………………………………………14分
∴ ．
∴二面角 的余弦值为 ．………………………………15分
（方法二）：由（I）过 作 ⊥ 于点 ，连接
∵ ，∴ ⊥ ．
∵平面 ⊥平面 ， ∴ ⊥ ．…………………………7分
分别以 为 轴建立空间直角坐标系．………………8分
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，∴ ．………………………………9分
．…10分
可得 ， ．………11分
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
得一个 ．……………………………………………………12分
取平面 的法向量为 ．……………………………………13分
．……………………………………14分
∴二面角 的余弦值为 ．…………………………………15分
18．（本题15分）解：（I）由椭圆的下顶点为 知 ． ………1分
由 到焦点的距离为 知 ．………………………………………2分
所以椭圆 的方程为 ．……………………………………3分
设 ， ……………………………………4分
．……………5分
∴当 时， ． …………………………………………6分
（II）由题设可知 的斜率必存在．………………………………………………7分
由于 过点 ，可设 方程为 ．……………………………8分
与 联立消去 得 ．……………9分
其 ．（*）……10分
设 ，则 ．………………11分
解法一： …………………………………………12分
． ………………………………………………………13分
解法二： ， 到 的距离 ．
………………………………………………………………12分
． ………………………………………………………13分
解得 或 均符合（*）式．…………………………………14分
∴ 或 ．
所求 方程为 与 ．………………15分
19．（本题15分）（I）解：由 ．①
当 时得 ．②……………2分
①－②得 ． ……………………………………………4分
∴ ． ………………………………………………5分
又 ．…………………………………………………………6分
综上得 ．……………………………………………………7分
（II）证明：当 时， ． ………………………10分
………………………………………11分
．…………………………………………………………………………13分
∴当 时， ．………………………………15分
20．（本题14分）（I）证明：当 时， ．……1分
任取 ，设 ．……………………………………………2分
． ……………………………………………4分
由所设得 ， ，又 ，
∴ ，即 ．……………………………………5分
∴ 在 单调递增．……………………………………………………6分
（II）解法一：函数 有三个不同零点，即方程 有三个不同的实根．
方程化为： 与 ．…7分
记 ， ．
⑴当 时， 开口均向上．
由 知 在 有唯一零点．…………………………………8分
为满足 有三个零点， 在 应有两个不同零点．
∴ ．…………………………………10分
⑵当 时， 开口均向下．
由 知 在 有唯一零点．为满足 有三个零点，
在 应有两个不同零点．………………………………………………11分
∴ ．……………………………13分
综合⑴⑵可得 ．……………………………………14分
解法二： ． …………………………………7分
⑴当 时， 在 单调递增，且其值域为 ，所以 在 有一个零点．……………………………………………………………………………………8分
为满足 都有三个不同零点， 在 应有两个零点．
时，
．………………………………9分
在 单调递减，在 单调递增，且在这两个区间上的值域均为 ．
∴当 即 时， 在 有两个零点．从而 有三个不同零点．
………………………………………………………………………………………10分
⑵当 时， 在 单调递减，且其值域为 ，所以 在 有一个零点．……………………………………………………………………………………11分
为满足 都有三个不同零点， 在 应有两个零点．
时，
． ……………………………………………………………12分
在 单调递减，在 单调递增．且在这两个区间上的值域均为
∴当 即 时， 在 有两个零点．从而 有三个不同零点．………………………………………………………………………13分
综合⑴⑵可得 ．…………………………………………14分
解法三：函数 都有三个不同零点，即方程 有三个不同的实根．
令 ．则 ．………………7分
⑴当 时，若 ， 单调递减，且其值域为 ，所以 在 有一个实根． ……………………………………………………………………………8分
为满足 都有三个不同零点， 在 应有两个实根．
时，
．…………………………………9分
在 单调递增，在 单调递减，且在这两个区间上的值域均为 ．
∴当 时， 在 有两个实根．从而 有三个不同零点．
………………………………………………………………………………………10分
⑵当 时，若 ， 单调递增，且其值域为 ，所以 在 有一个实根．…………………………………………………………………………………11分
为满足 都有三个不同零点， 在 应有两个实根．
时，
．………………………………12分
在 单调递增，在 单调递减．且在这两个区间上的值域均为 ．
∴当 时， 在 有两个实根．从而 有三个不同零点．
………………………………………………………………………………………13分
综合⑴⑵可得 ．……………………………………14分
解法四：函数 有三个不同零点，即方程 有三个不同的实根．亦即函数 与函数 的图象有三个不同的交点．
．……………………………………………………7分
⑴当 时，直线 与 图象左支恒有一个交点．…………8分
为满足 都有三个不同零点，直线 与 图象右支应有两个交点．
∴ 时，方程 应有两个实根．
即 应有两个实根．
当且仅当 ．………10分
⑵当 时，直线 与 图象右支恒有一个交点．……………11分
为满足 都有三个不同零点，直线 与 图象左支应有两个交点．
∴ 时，方程 应有两个实根．
即 应有两个实根．
当且仅当 ．………13分
综合⑴⑵可得 ．……………………………………14分
点击下载：浙江省温州市2015届高三第一次适应性测试数学理试题
