安庆市2014～2015学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学试题（B）参考答案及评分标准
一、选择题
1. C
2. B 【解析】
.
3. D 【解析】 .
4. C
5. C
6. B 【解析】因为 ， ，所以 .
7. A ，所以 为圆 的直径. 又 ，所以∠ °，∠ °， ，所以向量 在 方向上的投影为 .
8. A 【解析】 .
9. B 【解析】设公比为 ，因为 ，则 ， ， .
由 ， ， ， 成等差数列，有 ，得 （舍）或 .
所以 ， ， ，
所以 ，由错位相减法可得
.
10. D 【解析】由 为函数 的一个极值点可得 ，∴ .
若 有两个零点 ， ，则 ，显然D不适合.
二、填空题
11. 若 且 ，则 .
12. 9
13. 2
14. 【解析】由 ，得 ， ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
15 ① ③ ④ 【解析】作出两个函数的图象.
三、解答题
16. 【解析】（1）
.
因为直线 是 图象的一条对称轴，所以 ， ，当 时，正数 取得最小值1. ………6分
（2）当 时， .
由 ，得 .
所以 的单调增区间 ( ). …………12分
17. 【解析】（1）取 中点 ，连接 、 、 ，因为 ，所以△ 是正三角形，所以 .根据侧面 ⊥侧面 ，有 ⊥侧面 .
由 ，平行四边形 的面积为 ，∠ 为锐角，可得
∠ °，所以△ 为正三角形，有 .所以 平面 ，从而 ⊥ . …………6分
（2）因为 ，所以 ，所以四棱锥 的体积为 .
又三棱锥 的体积为三棱柱 体积的 ，所以四棱锥 的体积为三棱柱 体积的 .
从而所求的斜三棱柱 的体积为 . …………12分
18. 【解析】（1）甲答错题目数的平均数为 ，所以答对题目数的平均数为 ，所以甲第一卷的平均得分为 . …………6分
（2）根据题意知点 共有16个： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 和 .
因为 ，所以符合 的点 共有8个： 、 、 、 、 、 、 、 .
故所求的概率为 . …………12分
19. 【解析】（1）由 .
因为 ， ，所以 ，即 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
故 ， . …………5分
（2） .
，即 ，化简得 .
因为 ，所以 时，有 . …………12分
20. 【解析】（1）由直线 与圆 相切，得 .
由 ， ，得 .
所以椭圆 的方程为 . …………5分
（2）设 ， ， ，
则直线 的方程为 .
令 ，得 ，所以 .
因为 、 两点关于 轴对称，所以 .
同理可得 ，
所以 .
因为 ， ，所以 ， ，
从而 为定值. …13分
21. 【解析】（1） .
因为 为奇函数，所以 恒成立，得 ， .所以 ， .
又 ，所以 ，故 .
所以 ， . …………3分
① 当 时， ，从而 在 上单调递增，无极值；
② 当 时，
，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
，
. ………7分
（2）当 时， ，根据（1）可知 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
， .
作函数 的图象，如图所示.
由图可知当 时，
方程 有三个不同的实数解.
…………14分
