徐州、淮安、宿迁、连云港四市2015届高三第一次模拟考试
数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上，
1．己知集合 ，则 中元素的个数为_______．
2．设复数z满足 （i是虚数单位），则z的虚部为_______．
3．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，
则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．
4．某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为_______．
5．如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为_____．
6. 已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______.
7. 已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，
则 的值为_____.
8. 在等差数列 中，已知 ，则 的值为______.
9. 若实数 满足 ，则 的最小值为_____.
10. 已知椭圆 ，点 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 与直线 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______.
11．将函数 的图象分别向左、向右各平移 个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则 的最小值为______．
12．己知a，b为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b的最小值为________.
13．已知函数 ，则不等式 的解集为______.
14．在△ABC中，己知 ，点D满足 ，且 ，则BC的长为_______ ．
二、解答题：本大题共6小题．15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
己知向量 ， ．
(1)若 ，求 的值：
(2)若 ，且 ，求 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC 平面ABC．
(1)若AB BC，CD PB，求证：CP PA：
(2)若过点A作直线 上平面ABC，求证： //平面PBC．
17.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，己知点 ，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC=BD.
（1）若AC=4，求直线CD的方程;
（2）证明： OCD的外接圈恒过定点(异于原点O).
18.(本小题满分16分)
如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位: ).
(I)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;
(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 ?并说明理由.
19.(本小题满分16分)
在数列 中，已知 ， 为常数.
(1)证明: 成等差数列;
(2)设 ，求数列 的前n项和 ；
（3）当 时，数列 中是否存在三项 成等比数列，且 也成等比数列?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.
20.(本小题满分16分)
己知函数
(1)若 ，求函数 的单调递减区间;
(2)若关于x的不等式 恒成立，求整数 a的最小值:
(3)若 ，正实数 满足 ，证明:
附加题部分
21.【选做题】本题包括A, B, C, D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
如图， 是△ABC的外接圆，AB = AC，延长BC到点D，使得CD = AC，连结AD交 于点E.求证:BE平分 ABC.
B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)
已知 ，矩阵 所对应的变换 将直线 变换为自身，求a,b的值。
C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
己知直线 的参数方程为 （t为参数）,圆C的参数方程为 .(a>0. 为参数)，点P是圆C上的任意一点，若点P到直线 的距离的最大值为 ，求a的值。
D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
若 ，且 ，求 的最小值.
【必做题】第22题、第23题.每题10分.共计20分.请在答题卡指定区毕内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等.
(1)求某同学至少选修1门自然科学课程的概率;
(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是 ，自然科学课程的概率都是 ，且各门课程通过与否相互独立.用 表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量 的概率分布列和数学期望。
23.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 的准线方程为 过点M(0,-2)作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O).直线 过点M与抛物线交于两点B,C，与直线OA交于点N.
(1)求抛物线的方程;
(2)试问: 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。
参考答案与评分标准
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1．6； 2． ； 3． ； 4． ； 5．7； 6． ； 7． ；
8．22； 9．18； 10． ； 11．2； 12．25 ； 13． ； 14．3．
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(1)因为 ，所以 ， …………………………………………………………2分
所以 ，即 ． …………………4分
因为 ，所以 ． …………………………………………6分
(2)由 ∥ ，得 ， ………………………………………………8分
即 ，即 ，
整理得， ……………………………………………………11分
又 ，所以 ，
所以 ，即 ． …………………………………………………14分
16．（1）因为平面 ⊥平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
⊥ ，所以 ⊥平面 ． …………………………………………………2分
因为 平面 ，所以 ⊥ . ………………………………………………4分
又因为 ⊥ ，且 ， 平面 ,
所以 ⊥平面 ，…………………………………………………………………6分
又因为 平面 ，所以 ⊥ ．……………………………………………7分
（2）在平面 内过点 作 ⊥ ，垂足为 ．…………………………………8分
因为平面 ⊥平面 ，又平面 ∩平面 ＝BC，
平面 ，所以 ⊥平面 ．…………………………………………10分
又 ⊥平面 ，所以 // ．……………………………………………………12分
又 平面 ， 平面 ， //平面 ．…………14分
17．(1) 因为 ，所以 ，…………………………………1分
又因为 ，所以 ，所以 ，…………………………………3分
由 ，得 ，…………………………………………………………… 4分
所以直线 的斜率 ， ………………………………………………5分
所以直线 的方程为 ，即 ．…………………………6分
（2)设 ，则 ．…………………………………………7分
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 点的坐标为 ………………………………………………………8分
又设 的外接圆的方程为 ，
则有 ……………………………………………10分
解之得 , ,
所以 的外接圆的方程为 ，…………12分
整理得 ，
令 ，所以 （舍）或
所以△ 的外接圆恒过定点为 ．…………………………………………14分
18．(1)如图，以 为坐标原点 ， 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 点坐标为 ．……………………………………………………………………………1分
设边缘线 所在抛物线的方程为 ，
把 代入，得 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ．…………………………………………………………3分
因为 ，……………………………………………………………………………4分
所以过 的切线 方程为 ．………………………………………5分
令 ，得 ；令 ，得 ，…………………………………7分
所以 ，…………………………………………………………8分
所以 ，定义域为 ．………………………………………9分
(2) ，……………………………………………12分
由 ，得 ，
所以 在 上是增函数，在 上是减函数，……14分
所以 在 上有最大值 ．
又因为 ，
所以不存在点 ，使隔离出的△ 面积 超过3 ．…16分
19．（1）因为 ，
所以 ，
同理， ， ， ……………………2分
又因为 ， ，…………………………………………………3分
所以 ，
故 ， ， 成等差数列．…………………………………………………………4分
（2） 由 ，得 ，…………………………5分
令 ，则 ， ，
所以 是以0为首项，公差为 的等差数列，
所以 ，…………………………………………………6分
即 ，
所以 ，
所以 ． ………………………………………………………8分
当 ， ……………………………………………………………9分
当 ．………………10分
（3）由（2）知 ，
用累加法可求得 ，
当 时也适合，所以 ……………………12分
假设存在三项 成等比数列，且 也成等比数列，
则 ，即 ， ………14分
因为 成等比数列，所以 ，
所以 ，
化简得 ，联立 ，得 ．
这与题设矛盾．
故不存在三项 成等比数列，且 也成等比数列．…16分
20．（1）因为 ，所以 ，………………………………………1分
此时 ，
……………………………………… 2分
由 ，得 ，
又 ，所以 ．
所以 的单调减区间为 ． ………………………………………… 4分
（2）方法一：令 ，
所以 ．
当 时，因为 ，所以 ．
所以 在 上是递增函数，
又因为 ，
所以关于 的不等式 不能恒成立．……………………………………6分
当 时， ，
令 ，得 ．
所以当 时， ；当 时， ，
因此函数 在 是增函数，在 是减函数．
故函数 的最大值为 ．
……………………………………………………………………8分
令 ，
因为 ， ，又因为 在 是减函数．
所以当 时， ．
所以整数 的最小值为2． …………………………………………………………10分
方法二：（2）由 恒成立，得 在 上恒成立，
问题等价于 在 上恒成立．
令 ，只要 ．………………………………………… 6分
因为 ，令 ，得 ．
设 ，因为 ，所以 在 上单调递减，
不妨设 的根为 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上是增函数；在 上是减函数．
所以 ．………………………8分
因为 ，
所以 ，此时 ，即 ．
所以 ，即整数 的最小值为2．……………………………………………… 10分
（3）当 时，
由 ，即
从而 ………………………………… 13分
令 ，则由 得，
可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
所以 ， ………………………………………………………15分
所以 ，
因此 成立．………………………………………………………… 16分
数学Ⅱ 附加题部分
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．(选修4—1：几何证明选讲)
因为 ，所以 ．………………………………………………2分
因为 ，所以 ．……………………………………………4分
因为 ，所以 ．………………………………………6分
因为 ， ………………………………………8分
所以 ，即 平分 ．………………………………………10分
B．选修4-2：矩阵与变换
解: 设直线 上任意一点 在变换 的作用下变成点 ，
由 ，得 ，……………………………………………4分
因为 在直线 上，
所以 ，即 ， ……………………6分
又因为 在直线 上，所以 ． ……………………8分
因此 解得 . ………………………………………10分
C．选修4-4：坐标系与参数方程
解: 因为直线 的参数方程为 ,
消去参数 ，得直线 的普通方程为 ．……………………………………3分
又因为圆 的参数方程为 （ 为参数），
所以圆 的普通方程为 ．………………………………………………6分
因为圆 的圆心到直线 的距离 ，……………………………………………8分
故依题意，得 ，
解得 . ……………………………………………………………………………10分
D．选修4－5：不等式选讲
解：因为 ，所以 ，……………………………………………3分
又因为 ，所以 ，且当 时取等号．………………6分
所以 ，且当 时取等号．……………………9分
所以 的最小值为 ．………………………………………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，
则 ，………………………………………………………2分
所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为 .……………………………3分
(2)随机变量 的所有可能取值有 ．……………………………………………4分
因为 ，
，
，
，……………………………………………………………8分
所以 的分布列为
所以 .………………………………10分
23．（1）由题设知， ，即
所以抛物线的方程为 …………………………………………………………2分
（2）因为函数 的导函数为 ，设 ，
则直线 的方程为 ，………………………………4分
因为点 在直线 上，所以 ．
联立 解得 ．……………………………………5分
所以直线 的方程为 ． ……………………………………………… 6分
设直线 方程为 ，
由 ，得 ，
所以 ．…………………………………………… 7分
由 ，得 ．………………………………………………… 8分
所以 ,
故 为定值2．……………………………………………………………10分
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