2015年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科)试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合 ，集合 ，则 ＝（ ）
A. B。 C。 D。
2、已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A. B。 C。 D。
3、若函数 的部分图象如图1所示，则
A. B。
C. D。
4、已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ）
A.3 B。4 C。6 D。9
5、已知直线 ，平面 ，且 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6、执行如图2所示的程序框图，则输出S的值为（ ）
A. 16 B。25 C。36 D。49
7、在 中， 分别为 所对的边，若函数 有极值点，则 的范围是（ ）
A. B。 C。 D。
8、如果自然数 的各位数字之和等于8，我们称 为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列 …，若 ，则 （ ）
A. 83 B。82 C。39 D。37
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生必须做答。
9、 的展开式中常数项为 .（用数字表示）
10、
11、已知向量 ， ，若 ，则 的最小值为
12、已知圆C： 经过抛物线E： 的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长
为
13、设P是函数 图象上的动点，则点P到直线 的距离的最小值为
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分。
14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 ： 与曲线 相交于A，B两点，则｜AB｜＝
15、（几何证明选讲选做题）如图3，在 中， ， ，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙ 与AC相切于点E。若BC＝6，则DE的长为
三、解答题
16、（本小题满分12分）
函数 （ ）的最小正周期是 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，且 ，求 的值．
17、（本小题满分12分）
空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：
城市 AQI数值 城市 AQI数值 城市 AQI数值 城市 AQI数值 城市 AQI数值 城市 AQI数值 城市 AQI数值
广州 118 东莞 137 中山 95 江门 78 云浮 76 茂名 107 揭阳 80
深圳 94 珠海 95 湛江 75 潮州 94 河源 124 肇庆 48 清远 47
佛山 160 惠州 113 汕头 88 汕尾 74 阳江 112 韶关 68 梅州 84
（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：
空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染
AQI值范围 [0,50) [50，100） [100,150) [150,200)
城市个数
（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取 个城市，省环保部门再从中随机选取 个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为 ”，求 的分布列和数学期望．
18、（本小题满分14分）
在三棱锥 中，已知平面 平面 ， 是底面△ 最长的边．三棱锥 的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．
（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥 的直观图补充完整（其中点 在
平面内），并指出三棱锥 的哪些面是直角三角形；
（2）求二面角 的正切值；
（3）求点 到面 的距离．
19、（本小题满分14分）
已知首项大于 的等差数列 的公差 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： ， ， ，其中 ．
①求数列 的通项 ；
②是否存在实数 ，使得数列 为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
20、（本小题满分14分）
已知椭圆 的离心率为 ，过左焦点倾斜角为 的直线被椭圆截得的弦长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，过点 作 的垂线垂足为 ，求点 的轨迹方程．
21、（本小题满分14分）
已知定义在 上的奇函数 满足：当 时， ．
（1）求 的解析式和值域；
（2）设 ，其中常数 ．
①试指出函数 的零点个数；
②若当 是函数 的一个零点时，相应的常数 记为 ，其中 ．
证明： （ ）．
2015年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科)答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
1 2 3 4 5 6 7 8
C D A C B C D A
二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．
9． ； 10． ； 11． ； 12． ；
13． ； 14． ； 15． ．
三、解答题
16．解：（1） 的周期 ，即 ， …………………………………………1分
， 由 ，得 ，即 ． ……………………………………3分
． ………………………………5分
（2）由 得 ， ………………………………7分
又 ， ， ……………………………………………8分
， …………………………………………9分
．
． …………………………………………12分
【说明】 本小题主要考查了三角函数 的图象与性质，同角三角函数的关系式，诱导公式，两角和与差和二倍角的三角函数公式，考查了简单的数学运算能力．
17、解:（1）根据数据，完成表格如下：
空气质量 优质 良好 轻度污染 中度污染
AQI值范围 [0,50) [50，100） [100,150) [150,200)
城市频数 2 12 6 1
…………………………………2分
（2）按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取 个， ………………………………… 3分
从“轻度污染”类城市中抽取 个， ……………………………4分
所以抽出的“良好”类城市为 个，抽出的“轻度污染”类城市为 个．
根据题意 的所有可能取值为： ．
, ， ．………8分
的分布列为：
所以 ． ………………………………………………11分
答： 的数学期望为 个． …………………………………………………12分
【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．
18、解：（1）三棱锥 直观图如图1所示；
由三视图知 和 是直角三角形． ……………………3分
（2）（法一）：如图2，过 作 交 于点 ，
由三视图知 为等腰三角形，
， ，
，
取 的中点 ，过 作 且交
于点 ，连接 ， ，
因为 ，由三视图知 面 ，
且 面 ，所以 ，
又由 ，所以 面 ，
由 面 ，所以 ，
，所以 面 ，
由 面 ，所以 ，
所以 是二面角 的平面角．………6分
， ，
， ， ……………………………………8分
在直角 中，有 ．
所以，二面角 的正切值为 ． ………………………………………9分
（法二）：如图3，过 作 交 于点 ，由三视图知 为等腰三角形，
， ，
由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：
， ， ， ，
则 ， ， ，
,
设平面 、平面 的法向量分别为 、 ．
设 ，由 ， ，得 ，
令 ， 得 ， ，即 ． …………………6分
设 ，由 ， ，得 ，
令 ， 得 ， ，即 ． ………………………7分
， ．…………………8分
而二面角 的大小为锐角，所以二面角 的正切值为 ．…9分
（3）（法一）：记 到面 的距离为 ，由（1）、（2）知 ，
， ， ………………………………12分
三棱锥 的体积 ， ……………………13分
由 ，可得： ． ………………………………………14分
（法二）：由（2）知，平面 的法向量 ，
记 到面 的距离为 ，
． ………………………………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．
19、解：（1）（法一）： 数列 的首项 ，公差 ，
， ， ………………………………………2分
， ……………3分
整理得 解得 或 （舍去）． ……………………………4分
因此，数列 的通项 ． ………………………………………5分
（法二）：由题意得 ， …………………………………1分
数列 是等差数列， ， ……………………………2分
，即 ． ………………………………………………………3分
又 ， ，解得 或 （舍去）． …………………………………4分
因此，数列 的通项 ． ………………………………………5分
（2）① ， ． …………………………6分
令 ，则有 ， ．
当 时， ， ． ………8分
因此，数列 的通项 ． ………………………9分
② ， ， ， ………………………………………10分
若数列 为等比数列，则有 ，即 ，解得 或 ． ………11分
当 时， ， 不是常数，数列 不是等比数列，
当 时， ， ，数列 为等比数列．
所以，存在实数 使得数列 为等比数列． ………………………………14分
【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．
20、解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，解得 ，
故椭圆 的方程可设为 ，则椭圆 的右焦点坐标为 ， 过右焦点倾斜角为 的直线方程为 ． ………………………………………2分
设直线 与椭圆 的交点记为 ，由 消去 ，得 ，
解得 ， 因为 ，解得 ．
故椭圆 的方程为 ． ……………………………………………………4分
（2）（法一）（i）当切线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为 ，
联立直线 和椭圆 的方程，得 ， ……………………………………5分
消去 并整理，得 ， …………………………6分
因为直线 和椭圆 有且仅有一个交点，
， ………………………………………7分
化简并整理，得 ． …………………………………………8分
因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为： ，
联立 解得 ………………………9分
，把 代入上式得 ． ① …………………………………11分
（ii）当切线 的斜率为 时，此时 ，符合①式． …………………………12分
（iii）当切线 的斜率不存在时，此时 或 ，符合①式． ………13分
综上所述，点 的轨迹方程为 ． ………………………………………14分
（法二）：设点 的坐标为 ，
（i）当切线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为 ，
同解法一，得 ， ① …………………………………………8分
因为直线 与 垂直，所以直线 的方程为： ，
联立 解得 ② …………………9分
②代入①并整理，有 ，…10分
即 ，
由点 与点 不重合， ，
， ③ ……………………………………………………11分
（ii）当切线 的斜率为 时，此时 ，符合③式． …………………………12分
（iii）当切线 的斜率不存在时，此时 或 ，符合③式． ………13分
综上所述，点 的轨迹方程为 ． ………………………………………14分
（法三）：设点 的坐标为 ，
（i）当切线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为 ，整理，得 的方程为 ，5分
联立直线 和椭圆 的方程，得 ， 消去 并整理，
得 ， ……………………6分
因为直线 和椭圆 有且仅有一个交点，
， ………………………7分
化简并整理，得 ， ① ………………………8分
因为 与直线 垂直，有 ， ②……………………………………9分
②代入①并整理，有 ，…10分
即 ，
点 与点 不重合， ，
， ③………………………………………………………………11分
（ii）当切线 的斜率为 时，此时 ，符合③式． …………………………12分
（iii）当切线 的斜率不存在时，此时 或 ，符合③式． ………13分
综上所述，点 的轨迹方程为 ． ………………………………………14分
【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系，弦长问题，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21、解：（1） 为奇函数， ．
当 时， ，则 ，
………………………………………2分
时， ， ， ，
的值域为 ． …………………………………………………3分
（2）①函数 的图象如图 所示，当 时，方程
有三个实根；当 或 时，方程 只有一个实
根；当 或 时，方程 有两个实根．
（法一）：由 ，解得 ，
的值域为 ， 只需研究函数 在 上的图象特征．
设 ， ， ，
令 ，得 ， ．
当 时， ，当 时， ，
又 ，即 ，由 ， ，得 ，
的大致图象如图 所示．
根据图象 可知，当 时，
直线 与函数 的图像仅有一个交点，则函数
在 上仅有一个零点，记零点为 ，则 分别在区间 、
、 上，根据图像 ，方程 有两个交点，因此
函数 有两个零点． …………………………………………5分
类似地，当 时，函数 在 上仅有零点 ，因此函数 有 、 、 这三个零点． ………………………………………………………………6分
当 时，函数 在 上有两个零点，一个零点是 ，另一个零点在 内，因此函数 有三个零点． …………………………………………………………7分
当 时，函数 在 上有两个零点，且这两个零点均在 内，因此函数 有四个零点． ……………………………………………………………8分
当 时，函数 在 上没有零点，因此函数 没有零点． ………9分
（法二）： ，令 ，得 ，
， ．
当 时， ，当 时， ，
当 时， 取得极大值 ．
（Ⅰ）当 的极大值 ，即 时，函数 在区间 上无零点，因此函数 无零点．
（Ⅱ）当 的极大值 ，即 时，
，函数 的图像如图 所示，函数 有零点 ．
由图 可知方程 有两不等的实根，因此函数 有两个零点．
（Ⅲ）当 的极大值 且 ，
即 时， 在 上单调递增，因为 ， ，函数 的图像如图 所示，函数 在 存在唯一零点 ，其中 ．
由图 可知方程 有两不等的实根，因此函数 有两个零点．
（Ⅳ）当 的极大值 且 ，即 时：
由 ，得 ，由 ，得 ，
根据法一中的证明有 ．
（ⅰ）当 时， ，
，函数 的图像如图 所示，
函数 在区间 有唯一零点 ，其中 ．
由图 可知方程 有两不等的实根，因此
函数 有两个零点．
（ⅱ）当 时， ，
，函数 的图像如图 所示，
函数 在区间 有唯一零点 ．
由图 可知方程 有三个不等的实根，因此函数 有三个零点．
（ⅲ）当 时， ， ，函数 的
图像如图 所示，函数 在区间 有唯一零点 ，其中 ．
由图 可知方程 有两个不等的实根，因此函数
有两个零点．
（ⅳ）当 时， ， ，
函数 的图像如图 所示，函数 在区间 有
两个零点，分别是 和 ，其中 ．
由图 可知方程 有一个实根 ，方程
有两个非 的不等实根，因此函数 有三个零点．
（ⅴ）当 时， ， ，
函数 的图像如图 所示，函数 在区间 有两个
零点 、 ，其中 ．
由图 可知方程 、 都有两个不等的实根，
且这四个根互不相等，因此函数 有四个零点．
综上可得：
当 时，函数 有两个零点；………………5分
当 、 时，函数 有三个零点； ………………………………7分
当 时，函数 有四个零点； ……………………………………8分
当 时，函数 无零点． ………………………………………………9分
②因为 是函数 的一个零点，所以有 ，
， ，
，
， ． …………………………………………10分
记 ， ，
当 时， ，
当 时， ，即 ．
故有 ，则 ． …11分
当 时， ；
当 时，
（法一）： ， ………………………………13分
… …
．
综上，有 … ， ． ………………………………………14分
（法二）：当 时， ；
当 时， ， ………………………13分
… …
．
综上，有 … ， ． ………………………………………14分
【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理，放缩法证明数列不等式，考查学生数形结合、分类讨论的数学思想，以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．
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