高三年级第一学期第六次月考
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每 小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
１.已知集合 则 为
（ A） （B） （C） （D）
2.在复平面内与复数 所对应的点关于实轴对称的点为 ，则 对应的复数为
（A） （B） （C） （D）
3.设等比数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则
（A）31 （B）36 (C)42 (D)48
4.函数 的零点所在的区间是
(A) (B) (C) (D)
5.已知命题 :函数 的 最小正周期为 ；命题 ：若函数 为偶函数，则 关于 对称.则下列命题是真命题的是
(A) (B) (C) (D)
6. 一次实验：向下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为 粒，其中 粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率 为
(A) (B) (C) (D)
7.已知曲线 的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，且曲线关于点 成中心对称，若 ，则
(A) (B) (C) (D)
8.已知 是双曲线 的右焦点,点 分别在其两条渐近线上，且满足 ， （ 为坐标原点），则该双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
9.执行如图所示的程序框图，则输出结果 的值为
（A） （B） （C） （D）
10.已知实数 满足 ，若目标函数 的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
11.四面体 的四个顶点都在球 的表面上， 平面 ，△ 是边长为3的等边三角形.若 ，则球 的表 面积为
(A) (B) (C) (D)
12.已知函数 与 ，若 与 的交点在直线 的两侧，则实数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 如图，某几何体的主视图和俯视图都是矩形，左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________.
14.已知函数 的导函数为 ，且 ，则 的最小值为_____.
15．在 中，点 在线段 的延长线上，且 ，点 在线段 上（与点 不重合）若 ，则 的取值范围是____________.
16.已知抛物线 的焦点为 ，△ 的顶点都在抛物线上，且满足
，则 _______.
三、解答题（ 本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
设数列 的各项均为正数，它的前 项的和为 ，点 在函数 的图象上；数列 满足 ，其中 ．
（Ⅰ）求 数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项的和 ．
1 8.（本小题满分12分）
已知向量 ，函数 的图象与直线 的相邻两个交点之间的距离为 ．
（1）求函数 在 上的单调递增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象．若 在 上至少含有 个零点，求 的最小值．
19.（本小题满分12分）
今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁.私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力.为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁） [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 4 6 9 6 3 4
（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；
（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
20. （本小题满分12分）
如图，在四棱 锥 中， ， ， ， ， 分别为 的中点， .
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）设 ，若平面 与平面 所成锐二面角 ，求 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 的正方形（记为 ）.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是直线 与 轴的交点 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 两点，当线段 的中点落在正方形 内（包括边界）时，求直线 斜率的取值范围.
22.(本题满分12分)
设 是函数 的一个极值点.
（Ⅰ）求 与 的关系式（用 表 示 ），并求 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范 围.
河北正定中学第六次月考理科数学答案
一、选择题 BBABB DCACA CB
二、填空题 13.8 14. 15. 16.0
三、解答题
17.⑴由已知条件得 ， ①
当 时， ， ②
①－②得： ，
即 ，
∵数列 的各项均为正数，∴ （ ），
又 ，∴ ；∵ ，
∴ ，∴ ；
⑵∵ ，
∴ ，
，
两式相减得 ，
∴
18.
19.
（Ⅱ） 的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分
所以 的分布列是：
所 以 的 数学期望 ．
20. (Ⅰ) ， 分别为 的中点，
为矩形， ••••••••••••••••• 2分
,又
面 , 面 ,
平面 ⊥平面 • •••••••••••••••••••• 4分
(Ⅱ) ,又 ，
又 ,所以 面 , •••••• ••••••••••••6分
建系 为 轴， 为 轴， 为 轴,
， ,
平面 法向量 ，平面 法向量 ••••••••••9分
，可得 . •••••••••••••12
21. 解: （Ⅰ ）依题意，设椭圆C的方程为=1(a>b>0),焦距为2c，
由题设条件知，a2=8,b=c, 所以b2= a2=4
故椭圆C的方程为 =1 (4分)
（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x=-4,所以点P的坐标为（-4,0），
显然直线l的斜率k存在，所以直线的方程为y=k(x+4)。
如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的
中点为G(x0,y0)，
由
得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0 ① （6分）
由=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0
解得 <k< ② （7分）
因为x1,x2是方程①的两根，所以x1+x2=- ，
于是x0= = ,y0=k(x0+4)= （8分）
∵x0= ≤0，所以点G不可能在y轴的右边. （9分）
又直线F1B2,F1B1方程分别为y=x+2,y=-x-2
所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为
即 （10分）
解得 ≤k≤ ，此时②也成立．
故直线l斜率的取值范围是[ , ]. (1 2分)
22．解：（Ⅰ）∵
∴
1分
由题意得： ，即 ， 2分
∴ 且
令 得 ，
∵ 是函数 的一个极值点
∴ ，即
故 与 的关系式 4 分
（1）当 时， ，由 得单增区间为： ；
由 得单减区间为： 、 ；
（2）当 时， ，由 得单增 区间为： ；
由 得单减区间为： 、 ； 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
在 上的值域是 9分
点击下载：河北省正定中学2015届高三上学期第六次月考数学试题
