惠州市2015届高三第三次调研考试
数 学 试 题(理科) 2015.1
本试卷共5页,21小题,满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.若集合 , ,则 ( ).
A. B. C. D.
2.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的函数为( ).
A. B. C. D.
3.“ ”是“ ”成立的( )条件.
A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要
4.设双曲线 的虚轴长为2,焦距为 ,则此双曲线的离心率为( ).
A. B. C. D.
5.空间中,对于平面 和共面的两直线 、 ,下列命题中为真命题的是( ).
A.若 , ,则 B.若 , ,则
C.若 、 与 所成的角相等,则 D.若 , ,则
6.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,那么不同的发言顺序的种数为( ).
A.840 B.720 C.600 D.30
7.数列 ,满足对任意的 ,均有 为定值.若 ,则数列 的前100项的和 ( ).
A.132 B.299 C.68 D.99
8.在平面直角坐标系中,定义两点 与 之间的“直角距离”为 .给出下列命题:
(1)若 , ,则 的最大值为 ;
(2)若 是圆 上的任意两点,则 的最大值为 ;
(3)若 ,点 为直线 上的动点,则 的最小值为 .
其中为真命题的是( ).
A. (1) (2) (3) B. (2) C. (3) D. (2) (3)
二、填空题(本大题共7小题,分为必做题和选做题两部分.每小题5分,满分30分)
(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
高一 高二 高三
女生
男生
9.某校有 名学生,各年级男、女生人数如右表,已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手,抽到高一男生的概率是 .现用分层抽样的方法在全校抽取 名奥运志愿者,则在高二抽取的学生人数为______.
10.已知 , , ,若 ,则实数 ______.
11.已知复数 ( ),若 ,则实数 的值为__________.
12.已知 ,使不等式 恒成立,则实数 的取值范围是__________.
13. 是平面内不共线的三点,点 在该平面内且有 ,现将一粒黄豆随机撒在△ 内,则这粒黄豆落在△ 内的概率为__________.
(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题得分。
14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线 的参数方程为 ( 为参数),圆 的参数方程为 ( 为参数).若直线 与圆 有公共点,则实数 的取值范围是__________.
15.(几何证明选讲选做题)如图1,点 都在圆 上,过点 的切线交 的延长线于点 ,若 , , ,则线段 的长为__________.
三、解答题:(本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.)
16.(本小题满分12分)
已知函数 , (其中 ),其部分图像如图2所示.
(1)求函数 的解析式;
(2)已知横坐标分别为 、 、 的三点 都在函数 的图像上,求 的值.
17.(本小题满分12分)
惠州市某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练都从中任意取出2个球,用完后放回.
(1)设第一次训练时取到的新球个数为 ,求 的分布列和数学期望;
(2)已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球,求第二次训练时恰好取到 个新球的概率.
参考公式:互斥事件加法公式: (事件 与事件 互斥).
独立事件乘法公式: (事件 与事件 相互独立).
条件概率公式: .
18.(本小题满分14分)
三棱柱 的直观图及三视图(正视图和俯视图是正方形,侧视图是等腰直角三角形)如图所示, 为 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求二面角 的正切值.
19.(本小题满分14分)
已知数列 的前 项和 ,且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)令 ,是否存在 ,使得 、 、 成等比数列.
若存在,求出所有符合条件的 值;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分14分)
已知抛物线 的焦点 以及椭圆 的上、下焦点及左、右顶点均在圆 上.
(1)求抛物线 和椭圆 的标准方程;
(2)过点 的直线交抛物线 于 两不同点,交 轴于点 ,
已知 , ,求 的值;
(3)直线 交椭圆 于 两不同点, 在 轴的射影分别为 , ,若点 满足 ,
证明:点 在椭圆 上.
21.(本小题满分14分)
已知函数 ,过点 作曲线 的两条切线 , ,切点分别为 , .
(1)当 时,求函数 的单调递增区间;
(2)设 ,求函数 的表达式;
(3)在(2)的条件下,若对任意的正整数 ,在区间 内,总存在 个数 使得不等式 成立,
求 的最大值.
惠州市2015届高三第三次调研考试
数 学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共8小题,每小题5分,满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A D B B D
1.【解析】由 得 , ;由 得 ,
。 。故选A.
2.【解析】首先 是偶函数,且在 上单减,而 ,
故 满足条件。故选C.
3.【解析】由不等式的性质知,当 时, 成立;
反之,例如取 ,显然 ,而 不成立。故选B.
4.【解析】由已知知 ,所以 ,所以 。选A.
5.【解析】当 , 时,必有 或 与 异面直线,
而 与 是共面的两条直线,所以 。故选D.
6.【解析】分两类。第一类:甲、乙两人中恰有一人参加,方法种数为 种,第二类:甲、乙两人同时参加,方法种数为 种,根据分类计数原理,满足条件的方法种数为480+240=720种。故选B.
7.【解析】对任意的 ,均有 为定值,
,故 ,
是以3为周期的数列,故 , , ,
。选B.
8.【解析】对于(1), ,
的最大值为 ,故(1)不正确。
对于(2),要使 最大,必有 两点是圆上关于原点对称的两点,可设 ,则 。故(2)正确;
对于(3),设 ,则 ,去掉绝对值后可知当 时, 取得最小值 。故(3)正确。故选D.
二.填空题:共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.30 10.8 11. 12. 13. 14. 15.
9.【解析】由条件有 , ,
而抽样比例为 ,故高二抽取的学生人数为 人。
10.【解析】 , 。
11.【解析】 , 。
12.【解析】易知 的最小值为4, ,
故实数 的取值范围是 。
13.【解析】解析:由 ,
得 ,设 到 距离 ,如图,
则 ,
,
所以 ,所以所求概率为 .
14.【解析】因为直线 的普通方程为 ,圆C的普通方程为 ,故圆C的圆心到直线 的距离 ,解得 。
15.【解析】由切割线定理知 ,又易知 ∽ ,故 ,
故 。
三、解答题:(本大题共6小题,满分80分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.)
16.(本小题满分12分)
解:(1)由图可知, , ……………………………………………1分
最小正周期
所以 …………………………………3分
又 ,且
所以 , …………………5分
所以 . ……………………6分
(2) 解法一: 因为
,
所以 , ………………………………8分
,
从而 , ……………………………10分
由 ,得 . ………12分
解法二: 因为
,
所以 , ………………………………8分
, ,
,
则 . ……………10分
由 ,得 . ……12分
17.(本小题满分12分)
解:(1) 的所有可能取值为0,1,2. ……………………1分
设“第一次训练时取到 个新球(即 )”为事件 ( 0,1,2).
因为集训前共有6个篮球,其中3个是新球,3个是旧球,
所以 , ……………………………3分
, ……………………………5分
. …………………………7分
所以 的分布列为
0 1 2
的数学期望为 . …………………………8分
(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件 .
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 .
而事件 、 、 互斥,
所以 .
由条件概率公式,得
,……………………9分
,…………………10分
.…………………11分
所以 . …………………12分
所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 。
18.(本小题满分14分)
解:由三视图可知,几何体为直三棱柱 — ,侧面 为边长为2的正方形,底面 是等腰直角三角形, ……………………2分
(1)直三棱柱 — 中, 平面 , 平面 ,
, ,D为AC的中点, ,
又 面 , 面 ,且 ,
平面 ,又 面 , ①………..6分
又 ,
又 面 , 面 ,且 ,
面 , 面 ,
在正方形 中,
又 面 , 面 ,且 ,
面 ,又 面 , ②………………..8分
由①②,又 面 , 面 ,且 ,
面 . …………………………………………………………9分
(2)解法一(空间向量法)以 为原点建系,易得
设平面 的法向量 由 ,
得 令 ,得 …………..12分
又平面 的法向量 设二面角 的平面角为 ,
所以 …………..14分
解法二:所求二面角 与二面角 互余,
取 中点 ,有 ⊥平面 ,过 作 垂线,垂足为 ,
所以二面角 的平面角是 ……………11分
,
因为二面角 与二面角 互余,
所以二面角 的正切值为 ;……………..14分
解法三(补形)如图补成正方体,易得 为二面角的平面角,
……………..14分
19.(本小题满分14分)
(1)解法1:当 时, ,……………2分
即 .…………………………………………4分
所以数列 是首项为 的常数列.……………………5分
所以 ,即 .
所以数列 的通项公式为 .…………………7分
解法2:当 时, , ………………………2分
即 . …………………………………………………4分
.…5分
因为 ,符合 的表达式. ……………………………………………6分
所以数列 的通项公式为 . …………………………7分
(2)假设存在 ,使得 、 、 成等比数列,
则 .……………………………………………………………………8分
因为 ,
所以 ……11分
. …………………13分
这与 矛盾.
故不存在 ,使得 、 、 成等比数列.…………14分
20.(本小题满分14分)
解:(1)由抛物线 的焦点 在圆 上得:
, ,…………………………………………………………..1分
∴抛物线 …………..…………………………………………….2分
同理由椭圆上、下焦点 及左、右顶点 均在圆 上可解得: . …………4分
得椭圆 .…………………………………………………..5分
(2)设直线 的方程为 ,则 .
联立方程组 ,消去 得: ……….6分
且 …………………………………..7分
由 得:
整理得: ……………………………..…8分
.…………………..9分
(3)设 ,则
由 得 …………① …….10分
……………………② …………………………………….11分
……………………③ ……………………………………12分
由①+②+③得 …………….……...13分
∴ 满足椭圆 的方程,命题得证.……………....14分
21. (本小题满分14分)
【解】(1)当 时, --------1分
解得 .------------------------------------------2分
因为
所以函数 有单调递增区间为 --------------3分
(2)设 , 两点的横坐标分别为 、 ,
所以切线 的方程为: ---------------4分
所以切线 过点 ,所以有
即 ……①
同理,由切线 过点 ,,得 …… ②---------------5分
由(1)、(2),可得 的两根,
…… ③ -------------------------------------------------------------7分
-------------------------------------------8分
把③式代入,得
因此,函数 的表达式为 ----------------9分
(3)易知 在区间 上为增函数,
则
恒成立,
所以不等式 恒成立,
即 恒成立,--------------------------------12分
,由于 为正整数, . --------------------------------------13 分
又当 ,存在 任意的正整数 满足条件
因此, 的最大值为6. --------------------------------------------------------14分
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