东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 （文科）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 ， 集合 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）下列函数中，既是奇函数，又在区间 上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（3）设 ，则“ ”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）当 时，执行如图所示的程序框图，
输出的 值为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知 ， ，则 的值为
（A） （B） （C） （D）
（6）如图所示，为了测量某湖泊两侧 ， 间的距离，某同学首先选定了与 ， 不共线的一点 ，然后给出了四种测量方案：（△ 的角 ， ， 所对的边分别记为 ， ， ）
①测量 ， ， ②测量 ， ， ③测量 ， ， ④测量 ， ，
则一定能确定 ， 间距离的所有方案的序号为
（A）①②③ （B）②③④
（C）①③④ （D）①②③④
（7）已知向量 ， ，平面上任意向量 都可以唯一地表示为 ，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知两点 ， ，若直线 上至少存在三个点 ，使得△ 是直角三角形，则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30 分。
（9）已知抛物线的方程为 ，则其焦点到准线的距离为________．
（10）若 ,则 ________．
（11）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为 cm．
（12）已知 ， 满足 则 的最大值为_______．
（13）设函数 则 =________；若函数 存在两个零点，则实数 的取值范围是_______ _．
（14）某商场对顾客实行购物优惠 活动，规定购物付款总额要求如下：
①如果一次性购物不超过 元，则不给予优惠；
②如果一次性购物超过 元但不超过 元，则按标价给予 折优惠；
③如果一次性购物超过 元，则 元按第②条给予优惠，剩余部分给予 折优惠．
甲单独购买 商品实际付款 元，乙单独购买 商品实际付款 元，若丙一次性购买 ， 两件商品，则应付款________ 元．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步 骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数 （ ）的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 .
（Ⅰ）求 的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）设 ，且 ，求 的值.
（16）（本小题共13分）
已知数列 是等差数列，数列 是公比大于零的等 比数列，且 ， ．
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前 项和 .
（17）（本小题共14分）
在三棱锥 中， 底面 ， ， 为 的中点， 为 的中点，点 在 上，且 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）若 ，求三棱锥 的体积．
（18）（本小题共13分）
为普及宪法知识，某中学举行 了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为 ）进行统计.按照 ， ， ， ， 的分组作出频 率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 ， 的数据）．
（Ⅰ）求样本容量 和频率分布直方图中的 ， 的值；
（Ⅱ）在选 取的样本中，从竞赛成绩在 分以上（含 分）的学生中随机抽取两名学生参加“全民宪法知识大赛”，求所抽取的两名学生中至少有一人得分在 内的概率．
（19）（本 小题共13分）
已知椭圆 ： ，椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，与 有相同的离心率，且过椭圆 的长轴端点.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设 为坐标原点，点 ， 分别在椭圆 和 上，若 ，求直线 的方程.
（20）（本小题共14分）
已知函数 ， ， .
（Ⅰ）若 在 处与直线 相切，求 ， 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求 在 上的最大值；
（Ⅲ）若不等式 对所有的 ， 都成立，求 的取值范围.
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