2015届高三二诊模拟数学（理）试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 ，共 60 分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1设集合A={1,2,3,5,7}，B={x∈Z|1<X≤6},全集U=A∪B，则A∩CUB =（ ）
A 、{1，4，6，7} B、{2，3，7} C、{1，7} D、{1}
2命题“存在 R，使得 0”的否定是 （ ）
A、不存在 R, 使得 >0 B、存在 R, 使得 0
C、对任意的 R, 使得 0 D、对任意的 R, 使得 >0
3如图，网格纸的小正方形的边长是1，
在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个
多面体最长的一条棱的长为（ ）
A、23 B、 3 C 、 43 D 、 2
4 执行右边的程序框图，输出的T=（ ）
A、29 B、30 C、31 D、28
5 已知数列 是各项均为正数的等比数列，
若 ，则 等于（ ）
A、 B、 C、 D、
6 已知平面向量 ， 满足 ， ，
且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7 在区间[-1，1]上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为 ( ). A. B. C. D.
8曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 （ ） A B. 18 C. D.36
10函数 的最大值为（ ）。
A、 B、 C、 D、 w
11 已知数列 是各项均为正数且公比不等于 的等比数列.对于函数 ，若数列 为等差数列，则称函数 为“保比差数列函数”.现有定义在 上的如下函数：
① ， ② ， ③ ， ④ ，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
12直线 与函数 的图象恰有三个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题 ，共 90 分）
二、填空题（每题4分，共16分）
13已知i为虚单位，则复数 的虚部为 。
14某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x（°C） 18 13 10 －1
用电量y（度） 24 34 38 64
由表中数据得线性回归方程 中 ，预测当气温为 时，用电量的度数约为
15已知 则 的最小值是
16△ABC中，它的三边分别为a,b,c,若A=120°，a=5，则b+c的最大值为
三、解答题
17、（12分）已知向量m＝3sin x4，1，n＝cos x4，cos2x4.
(1)若m•n＝1，求cos2π3－x的值；
(2)记f(x)＝m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围.
18、（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495】，（495，500】，……，（510，515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
19（12分）如图，三棱柱 中， ⊥面 ， ， ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱 上是否存在点 ，使得
？请证明你的结论.
20在等比数列{an} (n∈N*)中，a1>1，
公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；
(3)试比较an与Sn的大小.
21．（ 12分）已知椭圆 （ ）右顶点与右焦点的距离为 ，短轴长为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过左焦点 的直线与椭圆分别交于 、 两点，若三角形 的面积为 ，求直线 的方程．
22、（14分）已知函数 （ 为实常数）。
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 在区间 上无极值，求 的取值范围；
（Ⅲ）已知 且 ，求证 .
2014-2015学年高三上期“二诊”模拟试题
数 学 试 题（理科）参考答案
一选择题1C 2D 3A 4B 5C 6B 7A 8D 9C 10C 11C 12A
二填空题：13 -1，14 68， 15 5， 16
三解答题：17（12分）
解 (1)m•n＝3sin x4•cos x4＋cos2x4＝32sin x2＋1＋cos x22
＝sinx2＋π6＋12，∵m•n＝1，∴sinx2＋π6＝12.
cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，cos2π3－x＝－cosx＋π3＝－12.
(2) ∵(2a－c)cos B＝bcos C，
由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.∴2sin Acos B＝sin(B＋C).
∵A＋B＋C＝π ∴sin(B＋C)＝sin A≠0.∴cos B＝12，
∵0<B<π，∴B＝π3.∴0<A<2π3.∴π6<A2＋π6<π2，
sinA2＋π6∈12，1. 又∵f(x)＝sinx2＋π6＋12.∴f(A)＝sinA2＋π6＋12.
故函数f(A)的取值范围是1，32.
18分析：（1）重量超过505克的产品数量是 件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
， ， ，
Y的分布列为
（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为
。
19（本小题满分12分）
（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD． …………1分
∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．
又D是AC的中点，∴OD//AB1．
∵AB¬1 面BDC¬1，OD 面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………4分
（II）解：如图，建立空间直角坐标系，
则C1（0，0，0），B（0，3，2），
C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0），
， ， …………5分
设 是面BDC1的一个法向量，则
即 ，取 .
易知 是面ABC的一个法向量.
.
∴二面角C1—BD—C的余弦值为 . …………8分
（III）假设侧棱AA1上存在一点P使得CP⊥面BDC1.
设P（2，y，0）（0≤y≤3），则 ，
则 ，即 .
解之 ∴方程组无解.
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1. …………12分
20（12分）(1)证明 ∵bn＝log2an，
∴bn＋1－bn＝log2an＋1an＝log2q为常数，
∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)Sn＝9n－n22 an＝25－n (n∈N*)
(3)解 显然an＝25－n>0，
当n≥9时，Sn＝n9－n2≤0，
∴n≥9时，an>Sn.
∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝12，a7＝14，a8＝18，
S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4，
∴当n＝3,4,5,6,7,8时，an<Sn；
当n＝1,2或n≥9时，an>Sn.
21（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意， -------1分
解得 . ------------2分
即：椭圆方程为 ------------3分
（Ⅱ）当直线 与 轴垂直时， ，
此时 不符合题意故舍掉； -----------4分
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，
代入消去 得： . ------------6分
设 ，则 ， -----------7分
所以 . ------------9分
原点到直线的 距离 ，
所以三角形的面积 .
由 ，
所以直线 或 . ---------12分
22解
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