昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(理科) 2015.1
考生注意事项：
1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．
2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．
3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．
4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
1. 已知集合 ， ，则 等于
A. B. C. D.
2．已知 ，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
3. 执行如图所示的程序框图，输出 的值是
A．4 B．8
C．16 D．32
4.某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是
A．
B．
C．
D．
5. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
6. 在2014年APEC会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是
A. 32人 B. 35人 C. 40人 D. 45 人
7. 在 中，角 对应的边分别为 . 若 则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝. 甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷. 根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是
A．甲 B. 乙 C．丙 D.丁
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
9. 设复数 ，则 .
10. 的展开式中， 的系数是 .(用数字作答)
11. 若 ， 满足约束条件 则 的最大值是 .
12. 平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 = .
13. 已知双曲线 的离心率是2，则 以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 .
14. 已知函数 ，有如下结论：
① ，有 ；② ，有 ；
③ ，有 ；
④ ，有 .
其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15.（本小题满分13分）
已知函数 ．
( I ) 求函数 的最小正周期；
(Ⅱ) 当 时，求函数 的最大值及取得最大值时的 值．
16.（本小题满分13分）
从甲、乙两班某项测试成绩中各随机抽取5名同学的成绩，得到如下茎叶图. 已知甲班样本成绩的中位数为13, 乙班样本成绩的平均数为16.
(I) 求 的值；
(II) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论)；
(III) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分，再从两组
剩余成绩中分别随机选取一个成绩，求这两个成绩的和 的分布列及数学期望.
（注：方差 ，其中 为 ， ，… , 的平均数.）
17. （本小题满分14分）
如图， 垂直于梯形 所在的平面， . 为 中点， ， 四边形 为矩形，线段 交 于点N .
(I) 求证： // 平面 ；
(II) 求二面角 的大小；
(III)在线段 上是否存在一点 ，使得 与
平面 所成角的大小为 ？ 若存在，请求出 的长;
若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分13分）
已知函数f (x) ＝ln x－a2x2＋ax (a∈ )．
( I ) 当a＝1时，求函数f (x)的单调区间；
( II ) 若函数f (x)在区间 (1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．
19.（本小题满分14分）
已知椭圆C : , 经过点P ，离心率是 .
(I) 求椭圆C的方程；
(II) 设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆右顶点 ，求证：直线l恒过定点．
20. （本小题满分13分）
已知数列 满足 ， ，数列 的前n项和为 ,
，其中 .
(I) 求 的值；
(II) 证明：数列 为等比数列；
(III) 是否存在 ，使得 若存在，求出所有的n的值；若不存在，请说明理由．
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数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B D C B A A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．
9. 10. 40 11. 2
12. 2 13. ； 14.② ③ ④
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为
………… 5分
所以 ，故 的最小正周期为 . ………… 7分
（Ⅱ）因为 ， 所以 ． …………9分
当 时，即 时， …………11分
所以 有最大值 . …………13分
16.（本小题满分13分）
解：（I）经计算得：甲班数据依次为 ，所以中位数为 ，得 ； ，得 ．……………4分
（II）乙班整体水平高.
或解： ，
，
，
.
因为 ，所以乙班的水平高. ……………7分
(III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分，则甲班：12，13，20，
乙班：15，18，18.
这两班测试成绩的和为 ，则 ，
所以 ， ， ， ， ， .
所以 的分布列为
27 28 30 31 35 38
所以 的期望为
. .……………13分
17. （本小题满分14分）
解：(Ⅰ)连接 在 中， 分别为 中点，所以
因为
所以 …………………4分
(Ⅱ)如图以 为原点，分别以 所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 …………………5分
则
设平面 的法向量为 则
即 解得
令 ，得 所以 …………………7分
因为平
所以 ，
由图可知二面角 为锐二面角，
所以二面角 的大小为 …………………9分
(Ⅲ) 设存在点Q满足条件.
由 设 ，
整理得 ， …………………11分
因为直线 与平面 所成角的大小为 ，
所以 ， …………………13分
则 知 ，即 点与E点重合.
故在线段 上存在一点 ，且 …………………14分
18. (本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当 时， ，定义域是 .
，
由 ，解得 ；由 ，解得 ；
所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . …………………5分
（Ⅱ）（法一）
因为函数 在区间 上是减函数，所以 在 上恒成立，
则 ，即 在 上恒成立. …………………7分
① 当 时， ，所以 不成立. …………………9分
② 当 时， ， ，对称轴 .
，即 ，解得
所以实数a的取值范围是 . …………………13分
（法二） ，定义域是 .
①当 时， 在区间 上是增函数，所以 不成立. …………………8分
② 时，
令 ，即 ，则 ， …………………9分
（i）当 时，由 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间是 .
因为函数 在区间 上是减函数，+所以 ，解得 . …………………11分
（ii）当 时，由 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间是 .
因为函数 在区间 上是减函数，所以 ，解得 .
综上实数a的取值范围是 . …………………13分
19.（本小题满分14分）
解：（I）由 ，解得 ，
所以椭圆C的方程是 . .…………………5分
（II）方法一
（1）由题意可知，直线 的斜率为0时，不合题意.
(2)不妨设直线 的方程为 ．
由 消去 得 . …………………7分
设 ， ，则有 ……①, ………②
………………… 8分
因为以 为直径的圆过点 ，所以 ．
由 ，得 ．
将 代入上式，
得 . ……… ③ ……………………12分
将①②代入③，得 ，
解得 或 （舍）．
综上，直线 经过定点 …………………14分
方法二
证明：
(1) 当 不存在时，易得此直线恒过点 . …………………7分
（2）当 存在时.设直线 ， ， .
由 ，可得 .
……①
……. ② …………………9分
由题意可知
,
可得 . …………………10分
整理得 ③
把①②代入③整理得
由题意可知
解得
（i） 当 ，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉. ……………12分
（ii） ，即 ，直线过定点 ，经检验符合题意.
综上所述，直线 过定点 .…………………14分
20. （本小题满分13分）
解：(I) 因为 ，所以 .
（或者根据已知 ，可得 . ） ……………3分
(II) 证明： ,
，故数列 是首项为1，公比为－2的等比数列. ……………7分
(III)由 (II) 知 ，
所以 .
设 ，
又
.
则由 ，得 ，
设 ，
则 ，
，所以 在 上单调递增，
，即 ，所以 在 上单调递增
又因为 ，
所以仅存在唯一的 ，使得 成立．……………13分
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