海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学（文科） 2015.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）如图所示，在复平面内，点 对应的复数为 ，则 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）已知直线 ， . 若 ∥ ，则实数 的值是（ ）
（A） 或
（B） 或
（C）
（D）
（4）当向量 ， 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为（ ） 7 8
8 6 1 8
9 1 5 7 8
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知函数 . 命题 ，函数 是偶函数；命题 ，函数 在定义域内是增函数. 那么下列命题为真命题的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）某堆雪在融化过程中，其体积 （单位： ）与融化时间 （单位： ）近似满足函数关系： （ 为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 . 那么瞬时融化速度等于 的时刻是图中的（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）在正方体 中，点 为底面 上的动点. 若三棱锥 的表面积最大，则 点位于（ ）
（A）点 处
（B）线段 的中点处
（C）线段 的中点处
（D）点 处
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）抛物线 的焦点坐标是______．
（10）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 .
（11）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为________.
（12）设不等式组 表示的平面区域为 . 则区域 上的点到坐标原点的距离的最小值是__ _ __．
（13）在等比数列 中，若 ， ，则公比 ________；当 ________时， 的前 项积最大.
（14）已知 . 若直线 上总存在点 ，使得过点 的 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是_________.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分）
函数 的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出 及图中 的值；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13分）
某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；
（Ⅱ）考核前，评估小组打算从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（Ⅲ）考核分答辩和笔试两项. 5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119.这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为 ， ，试比较 与 的大小. （只需写出结论）
（17）（本小题满分14分）
如图所示，在三棱柱 中， 为正方形， 是菱形，平面 平面 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）设点 分别是 的中点，试判断 四点是否共面，并说明理由.
（18）（本小题满分13分）
已知椭圆 .
（Ⅰ）求 的离心率及长轴长；
（Ⅱ）设过椭圆 的上顶点 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，线段 的垂直平分线交椭圆 于 两点. 问：是否存在直线 使得 三点共线（ 为坐标原点）？若存在，求出所有满足条件的直线 的方程；若不存在，说明理由.
（19）（本小题满分13分）
已知函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）问集合 （ 且为常数）的元素有多少个？（只需写出结论）
（20）（本小题满分14分）
数列 的前 项和为 ，且满足 ， （ 为常数， ）.
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若数列 是等比数列，求实数 的值.
（Ⅲ）是否存在实数 ，使得数列 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，说明理由.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（文）答案及评分参考 2015.1
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）D （3）A （4）D
（5）B （6）C （7）C （8）A
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9） （10）3 （11）
（12） （13） ；4 （14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ） 的值是 . ………………2分
的值是 . ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： .
因为 ，
所以 . ………………7分
所以 当 ，即 时， 取得最大值 ； ………………10分
当 ，即 时， 取得最小值 . ………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为 ，女同学的人数为 .
………………4分
（Ⅱ）记3名男同学为 ，2名女同学为 . 从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有 ，共10个.
………………6分
用 表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则 中的结果有6个，它们是： . ………………8分
所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 . ………………10分
（Ⅲ） . ………………13分
（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）在菱形 中， ∥ .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ………………3分
（Ⅱ）连接 .
在正方形 中， .
因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ………………5分
因为 平面 ，
所以 . ………………6分
在菱形 中， .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 . ………………8分
因为 平面 ，
所以 . ………………10分
（Ⅲ） 四点不共面. 理由如下： ………………11分
因为 分别是 的中点，
所以 ∥ .
同理可证： ∥ .
因为 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ∥平面 .
因为 平面 ，
所以 平面 ，即 四点不共面. ………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意可知椭圆 的标准方程为： ，则 .
所以 椭圆 的长轴长为 . ………………2分
因为 ，
所以 ，即 的离心率为 . ………………4分
（Ⅱ）若 三点共线，由 是线段 的垂直平分线可得：
. ………………6分
由（Ⅰ）可得 ，设 . ………………7分
所以 . ①
又因为 ， ② ………………10分
由①②可得： （舍），或 ………………11分
当 时，直线 的方程为 ，显然满足题意.
所以 存在直线 使得 三点共线，直线 的方程为 . ………………13分
（19）（共13分）
（Ⅰ）解： . ………………1分
因为 切线 过原点 ，
所以 . ………………3分
解得： . ………………4分
（Ⅱ）证明：设 ，则 .
令 ，解得 . ………………6分
在 上变化时， 的变化情况如下表
-
+
↘
↗
所以 当 时， 取得最小值 . ………………8分
所以 当 时， ，即 . ………………9分
（Ⅲ）解：当 时，集合 的元素个数为0；
当 时，集合 的元素个数为1；
当 时，集合 的元素个数为2；
当 时，集合 的元素个数为3. ………………13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）因为 ， ，
所以 ， .
因为 ，
所以 ，即 . ……………… 2分
所以 .
所以 数列 是以1为首项，3为公差的等差数列.
所以 . ……………… 4分
（Ⅱ）若数列 是等比数列，则 .
由（Ⅰ）可得： . ……………… 6分
解得： .
当 时，由 得： .
显然，数列 是以1为首项，1为公比的等比数列.
所以 . ……………… 7分
（Ⅲ）当 时，由（Ⅱ）知： .
所以 ，即数列 就是一个无穷等差数列.
所以 当 时，可以得到满足题意的等差数列.
当 时，因为 ， ，即 ，
所以 数列 是以1为首项， 为公差的等差数列.
所以 .
下面用反证法证明：当 时，数列 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列.
假设存在 ，从数列 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为 . 设数列 的公差为 .
①当 时， .
所以 数列 是各项均为正数的递减数列.
所以 .
因为 ，
所以 当 时， ，这与 矛盾.
②当 时，令 ，解得： .
所以 当 时， 恒成立.
所以 数列 必然是各项均为负数的递增数列.
所以 .
因为 ，
所以 当 时， ，这与 矛盾.
综上所述， 是唯一满足条件的 的值. ……………… 14分
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