南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．设集合 ，集合 ，若 ，则 ▲ .
答案：1
2．若复数 （其中 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 ▲ .
答案：－1
3．在一次射箭比赛中，某运动员 次射箭的环数依次是 ，则该组数据的方差是 ▲ .
答案：
4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为 ，甲、乙下和棋的概率为 ，则乙获胜的概率为 ▲ .
答案：
解读：为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。
5．若双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 ▲ .
答案：
6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ .
答案：42
解读：此题的答案容易错为22。
7．若变量 满足 ，则 的最大值为 ▲ .
答案：8
8．若一个圆锥的底面半径为 ，侧面积是底面积的 倍，则该圆锥的体积为 ▲ .
答案：
9．若函数 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，且该函数图象关于点 成中心对称， ，则 ▲ .
答案：
10．若实数 满足 ，且 ，则 的最小值为 ▲ .
答案：4
11．设向量 ， ，则“ ”是“ ”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .
答案：必要不充分
12．在平面直角坐标系 中，设直线 与圆 交于 两点， 为坐标原点，若圆上一点 满足 ，则 ▲ .
答案：
13．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，函数 . 如果对于 ， ，使得 ，则实数 的取值范围是 ▲ .
答案：
14．已知数列 满足 ， ， ，若数列 单调递减，数列 单调递增，则数列 的通项公式为 ▲ .
答案： （ 说明：本答案也可以写成 ）
二、解答题：
15．在平面直角坐标系 中，设锐角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 ，将射线 绕坐标原点 按逆时针方向旋转 后与单位圆交于点 . 记 .
（1）求函数 的值域；
（2）设 的角 所对的边分别为 ，
若 ，且 ， ，求 .
解：（1）由题意，得 ， ………4分
所以 ， ………………6分
因为 ，所以 ，故 . ………………8分
（2）因为 ，又 ，所以 ， ………………10分
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
解得 . ………………14分
（说明：第（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）
16．(本小题满分14分)
如图，在正方体 中， 分别为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：平面 平面 .
证明（1）：连接 ，设 ，连接 ， ………2分
因为O，F分别是 与 的中点，所以 ，且 ，
又E为AB中点，所以 ，且 ，
从而 ，即四边形OEBF是平行四边形，
所以 ， ……………6分
又 面 ， 面 ，
所以 面 . ……………8分
（2）因为 面 ， 面 ，
所以 ， ………… 10分
又 ，且 面 ， ，
所以 面 ，…………12分
而 ，所以 面 ，又 面 ，
所以面 面 . ………14分
17．在平面直角坐标系 中，椭圆 的右
准线方程为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，斜率为
的直线 经过点 ，且点 到直线 的距离为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）将直线 绕点 旋转，它与椭圆 相交于另一点 ，当
三点共线时，试确定直线 的斜率.
解：（1）由题意知，直线 的方程为 ，即 ， ……………2分
右焦点 到直线 的距离为 ， ， ……………4分
又椭圆 的右准线为 ，即 ，所以 ，将此代入上式解得 ， ，
椭圆 的方程为 ； ……………6分
（2）由（1）知 ， ， 直线 的方程为 ， ……………8分
联立方程组 ，解得 或 （舍），即 ， …………12分
直线 的斜率 . ……………14分
其他方法：
方法二: 由（1）知 ， ， 直线 的方程为 ，由题 ，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，联立方程组 ，解得 ，代入椭圆解得： 或 ，又由题意知， 得 或 ，所以 .
方法三：由题 ，显然直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，联立方程组 ，得 ， ，
所以 , ，当 三点共线时有， ，
即 ，解得 或 ，又由题意知， 得 或 ，所以 .
18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线 是以点 为圆心的圆的一部分，其中 （ ，单位：米）；曲线 是抛物线 的一部分； ，且 恰好等于圆 的半径. 假定拟建体育馆的高 米.
（1）若要求 米， 米，求 与 的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度 不超过 米，求 的取值范围；
（3）若 ，求 的最大值.
（参考公式：若 ，则 ）
解：（1）因为 ，解得 . …………… 2分
此时圆 ，令 ，得 ，
所以 ，将点 代入 中，
解得 . ………… 4分
（2）因为圆 的半径为 ，所以 ，在 中令 ，得 ，
则由题意知 对 恒成立， ………… 8分
所以 恒成立，而当 ，即 时， 取最小值10，
故 ，解得 . ………… 10分
（3）当 时， ，又圆 的方程为 ，令 ，得 ，所以 ，
从而 ， ………… 12分
又因为 ，令 ，得 ， ………… 14分
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，从而当 时， 取最大值为25 .
答：当 米时， 的最大值为25 米. …………16分
（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）
19．设数列 是各项均为正数的等比数列，其前 项和为 ，若 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）对于正整数 （ ），求证：“ 且 ”是“ 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列 满足：对任意的正整数 ，都有
，且集合 中有且仅有3个元素，试求 的取值范围.
解：（1） 数列 是各项均为正数的等比数列， ， ，
又 ， ， ， ； ………… 4分
（2）（ⅰ）必要性：设 这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若 ，则 ， ， ，
. ………… 6分
②若 ，则 ， ，左边为偶数，等式不成立，
③若 ，同理也不成立，
综合①②③，得 ，所以必要性成立. …………8分
（ⅱ）充分性：设 ， ，
则 这三项为 ，即 ，调整顺序后易知 成等差数列，
所以充分性也成立.
综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分
（3）因为 ，
即 ，（*）
当 时， ，（**）
则（**）式两边同乘以2，得 ，（***）
（*）－（***），得 ，即 ，
又当 时， ，即 ，适合 ， .………14分
， ，
时， ，即 ；
时， ，此时 单调递减，
又 ， ， ， ， . ……………16分
20．已知函数 ， .
（1）设 .
① 若函数 在 处的切线过点 ，求 的值；
② 当 时，若函数 在 上没有零点，求 的取值范围；
（2）设函数 ，且 ，求证：当 时， .
解：（1）由题意，得 ，
所以函数 在 处的切线斜率 ， ……………2分
又 ，所以函数 在 处的切线方程 ，
将点 代入，得 . ……………4分
（2）方法一：当 ，可得 ，因为 ，所以 ，
①当 时， ，函数 在 上单调递增，而 ，
所以只需 ，解得 ，从而 . ……………6分
②当 时，由 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以函数 在 上有最小值为 ，
令 ，解得 ，所以 .
综上所述， . ……………10分
方法二：当 ，
①当 时，显然不成立；
②当 且 时， ，令 ，则 ，当 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，又 ， ，由题意知 .
（3）由题意， ，
而 等价于 ，
令 ， ……………12分
则 ，且 ， ，
令 ，则 ，
因 ， 所以 ， ……………14分
所以导数 在 上单调递增，于是 ，
从而函数 在 上单调递增，即 . ……………16分
附加题答案
21. A、（选修4—1：几何证明选讲）
如图，已知点 为 的斜边 的延长线上一点，且 与 的外接圆相切，过点 作 的垂线，垂足为 ，若 ， ，求线段 的长.
解：由切割线定理，得 ，解得 ，
所以 ，即 的外接圆半径 ，……5分
记 外接圆的圆心为 ，连 ，则 ，
在 中，由面积法得 ，解得 . ………………10分
B、（选修4—2：矩阵与变换）
求直线 在矩阵 的变换下所得曲线的方程.
解：设 是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为 ，
则 ，解得 ， ………………5分
代入 中，得 ，
化简可得所求曲线方程为 . ………………10分
C、（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，求圆 的圆心到直线 的距离.
解：将圆 化为普通方程为 ，圆心为 ， ………………4分
又 ，即 ，
所以直线的普通方程为 ， ………………8分
故所求的圆心到直线的距离 . ………………10分
D、解不等式 .
解：当 时，不等式化为 ，解得 ； ………………3分
当 时，不等式化为 ，解得 ； ………………6分
当 时，不等式化为 ，解得 ； ………………9分
所以原不等式的解集为 . ………………10分
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱 中， ， ， ，动点 满足 ，当 时， .
（1）求棱 的长；
（2）若二面角 的大小为 ，求 的值.
解：（1）以点 为坐标原点， 分别为 轴，
建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ， ………………2分
当 时，有
解得 ，即棱 的长为 . ………………4分
（2）设平面 的一个法向量为 ，
则由 ，得 ，即 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，………………6分
又平面 与 轴垂直，所以平面 的一个法向量为 ，
因二面角 的平面角的大小为 ，
所以 ，结合 ，解得 . ………………10分
23．设集合 ， 是 的两个非空子集，且满足集合 中的最大数小于集合 中的最小数，记满足条件的集合对 的个数为 .
（1）求 的值；
（2）求 的表达式.
解：（1）当 时，即 ，此时 ， ，所以 ， ………………2分
当 时，即 ，若 ，则 ，或 ，或 ；
若 或 ，则 ；所以 . ………………4分
（2）当集合 中的最大元素为“ ”时，集合 的其余元素可在 中任取若干个（包含不取），所以集合 共有 种情况， ………………6分
此时，集合 的元素只能在 中任取若干个（至少取1个），所以集合 共有 种情况，
所以，当集合 中的最大元素为“ ”时，
集合对 共有 对， ………………8分
当 依次取 时，可分别得到集合对 的个数，
求和可得 . ………………10分
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