上海市黄浦区2015届高三上学期期终调研测试（一模）
数学(文)试卷
(2015年1月8日)
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知全集 ，集合 ，则 ．
2．函数 的定义域是 ．
3．已知直线 ，则直线 与 的夹角的
大小是 ．
4．若三阶行列式 中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是 ，则 (其中 是虚数单位， )的值是 ．
5．已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线： 的右焦点重合，则抛物线 的方程是 ．
6．若函数 是定义域为 的偶函数，则函数 的单调递减区间是 ．
7．已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，角 的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点 ，则 ＝ ．(用数值表示)
8．已知二项式 的展开式中第3项的系数是 ，数列 是公差为 的等差数列，且前 项和为 ，则 ＝ ．
9．已知某圆锥体的底面半径 ，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．
10．若从总体中随机抽取的样本为 ，则该总体的标准差的点估计值是 ．
11．已知 ，若 是函数 的零点，则 四个数按从小到大的顺序是 (用符号 连接起)．
12．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答)．
13．已知 ，定义： 表示不小于 的最小整数．如
. (理科)若 ，则正实数 的取值范围是 ．
(文科) 若 ，则实数 的取值范围是 ．
14． 已知点 是 所在平面上的两个定点，且满足
,若 ,则正实数 = .
二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．给定空间中的直线l及平面 ，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的 [答] ( )．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
16．已知向量 ，则下列能使 成立的一组向量 是 [答] ( )．
A． B．
C． D．
17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是
[答] ( )．
A．4 B． 5 C． 6 D． 7
18．已知 ， ，定义： ， ．给出下列命题：
(1)对任意 ，都有 ；
(2)若 是复数 的共轭复数，则 恒成立；
(3)若 ，则 ；
(4)对任意 ，结论 恒成立，则其中真命题是[答]( )．
A．(1)(2)(3)(4) B．(2)(3)(4) C．(2)(4) D．(2)(3)
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题
卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在长方体 中， ， 分别是所在棱 的中点，点 是棱 上的动点，联结 ．如图所示．
(1)求异面直线 所成角的大小(用反三角函数值表示)；
(2)求以 为顶点的三棱锥的体积．
20．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中，内角 所对边的长分别是 ，若 ，
求 的面积 的值．
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数 ，函数 是函数 的反函数．
(1)求函数 的解析式，并写出定义域 ；
(2) 设函数 ，试判断函数 在区间 上的单调性，并说明你的理由．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．
定义：若各项为正实数的数列 满足 ，则称数列 为“算术平方根递推数列”.
已知数列 满足 且 点 在二次函数 的图像上.
(1)试判断数列 是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；
(2)记 ，求证：数列 是等比数列，并求出通项公式 ；
(3)从数列 中依据某种顺序自左至右取出其中的项 ，把这些项重新组成一个新数列 ： .若数列 是首项为 ，公比为 的无穷等比数列，且数列 各项的和为 ，求正整数 的值．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在平面直角坐标系中，已知动点 ，点 点 与点 关于直线 对称，且 .直线 是过点 的任意一条直线．
(1)求动点 所在曲线 的轨迹方程；
(2)设直线 与曲线 交于 两点，且 ，求直线 的方程；
(3)设直线 与曲线 交于 两点，求以 的长为直径且经过坐标原点 的圆的方程．
数学试卷(文)
参考答案和评分标准(2015年1月8日)
说明：
1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、填空题
1． ； 8． ；
2． ； 9． ；
3． ； 10． ；
4． ； 11． ；
5． ； 12． ；
6． ； 13． ；
7． ； 14． ．
二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C
三、解答题
19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．
解(1)联结 ，在长方体 中，有 .
又 是直角三角形 的一个锐角，
∴ 就是异面直线 所成的角.
由 ，可算得 .
∴ ，即异面直线 所成角的大小为 .
(2)由题意可知，点 到底面 的距离与棱 的长相等．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．
解(1)∵ ，
∴ .
由 ，解得 .
∴函数 的单调递增区间是 .
(2)∵在 中， ，
∴ 解得 .
又 ，
∴ .
依据正弦定理，有 .
∴ .
∴ .
21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1) ，
.又 ， .
.
由 ，可解得 .
， .
(2) 答：函数 在区间 上单调递减.
理由：由(1)可知， .
可求得函数 的定义域为 .
对任意 ，有 ，
所以，函数 是奇函数.
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减，
于是， 在 上单调递减.
因此，函数 在 上单调递减.
依据奇函数的性质，可知， 函数 在 上单调递减.
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．
解(1)答：数列 是算术平方根递推数列.
理由： 在函数 的图像上，
， .
又 ，
∴ ．
∴数列 是算术平方根递推数列.
证明(2) ，
.
又 ,
数列 是首项为 ,公比 的等比数列.
.
(3)由题意可知，无穷等比数列 的首项 ,公比 ，
．
化简，得 ．
若 ，则 .这是矛盾！
.
又 时， ,
.
.
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
解(1)依据题意，可得点 .
．
又 ，
.
所求动点 的轨迹方程为 .
(2) 若直线 轴，则可求得 ，这与已知矛盾，因此满足题意的直线 不平行于 轴．
设直线 的斜率为 ，则 ．
由 得 ．
设点 ，有 且 恒成立(因点 在椭圆内部)．
又 ，
于是， ，即 ，
解得 ．
所以，所求直线 ．
(3) 当直线 轴时， ，点 到圆心的距离为1.即点 在圆外，不满足题意.
满足题意的直线 的斜率存在，设为 ，则 .
设点 ，由(2)知， 进一步可求得
依据题意，有 ，
，
即 ，解得 .
所求圆的半径 ，
圆心为 .
所求圆的方程为： .
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