海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学（理科） 2015.1
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）抛物线 的焦点坐标是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）如图所示，在复平面内，点 对应的复数为 ，则复数 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）当向量 ， 时， 执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知直线 ， . 若 ，则实数 的值是（ ）
（A）
（B） 或
（C） 或
（D）
（5）设不等式组 表示的平面区域为 . 则区域 上的点到坐标原点的距离的最小值是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）某堆雪在融化过程中，其体积 （单位： ）与融化时间 （单位： ）近似满足函数关系： （ 为常数），其图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为 . 那么瞬时融化速度等于 的时刻是图中的（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）已知点 在曲线 上， 过原点 ，且与 轴的另一个交点为 .若线段 , 和曲线 上分别存在点 、点 和点 ，使得四边形 （点 顺时针排列）是正方形，则称点 为曲线 的“完美点”. 那么下列结论中正确的是（ ）
（A）曲线 上不存在“完美点”
（B）曲线 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于1
（C）曲线 上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 且小于1
（D）曲线 上存在两个“完美点”，其横坐标均大于
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在 的展开式中，常数项是 .（用数字作答）
（10）在极坐标系中，直线 被圆 截得的弦长为______．
（11）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 .
（12）如图所示， 是 的切线， ， ，那么 _______.
（13）在等比数列 中，若 ， ，则公比 ________；当 ________时， 的前 项积最大.
（14）如图所示，在正方体 中，点 是边 的中点. 动点 在直线 （除 两点）上运动的过程中，平面 可能经过的该正方体的顶点是 . （写出满足条件的所有顶点）
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题满分13分）
函数 的部分图象如图所示.
（Ⅰ）写出 及图中 的值；
（Ⅱ）设 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值.
（16）（本小题满分13分）
某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名. 为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.
（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；
（Ⅱ）考核的第一轮是答辩，顺序由已抽取的甲、乙等5位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两位同学间隔的人数为 ， 的分布列为
3 2 1 0
求数学期望 ；
（Ⅲ）考核的第二轮是笔试：5位同学的笔试成绩分别为115，122，105， 111，109；结合第一轮的答辩情况，他们的考核成绩分别为125，132，115， 121，119. 这5位同学笔试成绩与考核成绩的方差分别记为 ， ，试比较 与 的大小. （只需写出结论）
（17）（本小题满分14分）
如图所示，在三棱柱 中， 为正方形， 为菱形， ，平面 平面 .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）设点 分别是 的中点，试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值.
（18）（本小题满分13分）
已知椭圆 ，点 ， 分别是椭圆 的左焦点、左顶点，过点 的直线 （不与 轴重合）交 于 两点.
（Ⅰ）求 的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线 ，使得点 在以线段 为直径的圆上，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由.
（19）（本小题满分13分）
已知函数 ， .
（Ⅰ）判断函数 的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）求集合 中元素的个数；
（Ⅲ）当 时，问函数 有多少个极值点？（只需写出结论）
（20）（本小题满分14分）
已知集合 ，集合 且满足： 与 恰有一个成立. 对于 定义 （ ）.
（Ⅰ）若 ， ，求 的值及 的最大值；
（Ⅱ）从 中任意删去两个数，记剩下的 个数的和为 . 求证： ；
（Ⅲ）对于满足 （ ）的每一个集合 ，集合 中是否都存在三个不同的元素 ，使得 恒成立，并说明理由.
海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理）答案及评分参考 2015.1
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）B （4）C
（5）B （6）A （7）C （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9） （10） （11）
（12） （13） ；4 （14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ） 的值是 . ………………2分
的值是 . ………………5分
（Ⅱ）由题意可得： .
………………7分
所以
………………8分
. ………………10分
因为 ，
所以 .
所以 当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值 . ………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为 ，女同学的人数为 .
………………4分
（Ⅱ）由题意可得： . ………………6分
因为 ，
所以 . ………………8分
所以 . ………………10分
（Ⅲ） . ………………13分
（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）连接 .
在正方形 中， .
因为 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . ………………1分
因为 平面 ，
所以 . ………………2分
在菱形 中， .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 . ………………4分
因为 平面 ，
所以 . ………………5分
（Ⅱ） ∥平面 ，理由如下： ………………6分
取 的中点 ，连接 .
因为 是 的中点，
所以 ∥ ，且 .
因为 是 的中点，
所以 .
在正方形 中， ∥ ， .
所以 ∥ ，且 .
所以 四边形 为平行四边形.
所以 ∥ . ………………8分
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 . ………………9分
（Ⅲ）在平面 内过点 作 .
由（Ⅰ）可知： 平面 . 以点 为坐标原点，分别以 所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，则 .
在菱形 中， ，所以 ， .
设平面 的一个法向量为 .
因为 即
所以 即 . ………………11分
由（Ⅰ）可知： 是平面 的一个法向量. ………………12分
所以 .
所以 二面角 的余弦值为 . ………………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）由 得： .
所以 椭圆 的短轴长为 . ………………2分
因为 ，
所以 ，即 的离心率为 . ………………4分
（Ⅱ）由题意知： ，设 ，则 .
………………7分
因为
………………9分
， ………………11分
所以 .
所以 点 不在以 为直径的圆上，即：不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上.
………………13分
另解：由题意可设直线 的方程为 ， .
由 可得： .
所以 ， . ………………7分
所以
. ………………9分
因为 ，
所以 . ………………11分
所以 .
所以 点 不在以 为直径的圆上，即：不存在直线 ，使得点 在以 为直径的圆上.
………………13分
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）函数 是偶函数，证明如下： ………………1分
对于 ，则 . ………………2分
因为 ，
所以 是偶函数. ………………4分
（Ⅱ）当 时，因为 ， 恒成立，
所以 集合 中元素的个数为0. ………………5分
当 时，令 ，由 ，
得 .
所以 集合 中元素的个数为1. ………………6分
当 时，因为 ，
所以 函数 是 上的增函数. ………………8分
因为 ，
所以 在 上只有一个零点.
由 是偶函数可知，集合 中元素的个数为2. ………………10分
综上所述，当 时，集合 中元素的个数为0；当 时，集合 中元素的个数为1；当 时，集合 中元素的个数为2.
（Ⅲ）函数 有3个极值点. ………………13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ， ， ，故 .
………………1分
因为 ，所以 .
所以 .
所以 当 时， 取得最大值 . ………………3分
（Ⅱ）由 的定义可知： .
所以
. ………………6分
设删去的两个数为 ，则 .
由题意可知： ，且当其中一个不等式中等号成立，不放设 时， ， .
所以 . ………………7分
所以 .
所以 ，即 .
………………8分
（Ⅲ）对于满足 （ ）的每一个集合 ，集合 中都存在三个不同的元素 ，使得 恒成立，理由如下：
任取集合 ，由 （ ）可知， 中存在最大数，不妨记为 （若最大数不唯一，任取一个）.
因为 ，
所以 存在 ，使得 ，即 .
由 可设集合 .
则 中一定存在元素 使得 . 否则， ，与 是最大数矛盾.
所以 ， ，即 .
………………14分
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