福州市2015届高三上学期期末质量检测数学文试题
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据 ， ， ， 的标准差 ，其中 为样本平均数.
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 的值是（ ）．
A． B． C． D．
2． 在复平面内，两共轭复数所对应的点（ ）．
A．关于 轴对称 B．关于 轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线 对称
3． 已知集合 ．若 ，则集合 可以是（ ）．
A． B．
C． D．
4． 某班有49位同学玩“数字接龙”游戏，具体规则按如图所示的程序框图执行（其中 为座位号），并以输出的值作为下一个输入的值．若第一次输入的值为8，则第三次输出的值为（ ）．
A．8 B．15
C．29 D．36
5． “ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6． 若 中 ，点 为 边中点，且 , ，则 的面积等于（ ）．
A．2 B．3 C． D．
7． 甲、乙两人在一次射击测试中各射靶10次，如图分别是这两人命中环数的直方图，若他们的成绩平均数分别为 和 ，成绩的标准差分别为 和 ，则（ ）．
A． ， B． ， C． ， D． ，
8． 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ．现采用随机模拟试验的方法估计抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率：先由计算器产生随机数0或1，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上；再以每三个随机数做为一组，代表这三次投掷的结果．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
101 111 010 101 010 100 100 011 111 110
000 011 010 001 111 011 100 000 101 101
据此估计，抛掷这枚硬币三次恰有两次正面朝上的概率为（ ）．
A． B． C． D．
9． 已知椭圆 的左焦点为 ，点 是椭圆上异于顶点的任意一点， 为坐标原点．若点 是线段 的中点，则 的周长为（ ）．
A． B． C． D．
10． 已知数列 的前 项和为 , ，当 时， ，则 的值为（ ）．
A．2015 B．2013 C．1008 D．1007
11． 已知平面内 两点的坐标分别为 , ， 为坐标原点，动点 满足 ，则 的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
12． 已知函数 ，有下列四个命题：
： , , ；
： , , ；
： , ， ；
： , ， ．
其中的真命题是（ ）．
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 满分90分）
二、填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，满分 16 分．请把答案填在下面横线上．
13． 已知点 , , ，点 为 边界及内部（如图阴影部分）的任意一点，则 的最小值为 ★★★ ．
14． 若函数 在 处取得极值，则实数 的值是 ★★★ ．
15． 如图所示， ，在以 为圆心，以 为半径的半圆弧上随机取一点B，则 的面积小于 的概率为 ★★★ ．
16． 已知 是某三角形的三个内角，给出下列四组数据：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是 ★★
★ ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17． （本小题满分12分）
已知数列 是递增的等差数列， , 是方程 的两根．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前 项和 ．
18． （本小题满分12分）
“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某参与者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）为了解冰桶挑战赛与受邀者的性别是否有关，某调查机构进行了随机抽样调查，调查得到如下 列联表：
接受挑战 不接受挑战 合计
男性 45 15 60
女性 25 15 40
合计 70 30 100
根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别有关”？
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
19． （本小题满分12分）
已知抛物线 的焦点为 ，过点 作一条直线 与抛物线交于 , 两点．
（Ⅰ）求以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程；
（Ⅱ）从 中取出三个量，使其构成等比数列，并予以证明．
20． （本小题满分12分）
函数 在区间 上的最小值记为 ．
（Ⅰ）若 ，求函数 的解析式；
（Ⅱ）定义在 的函数 为偶函数，且当 时， ．若 ，求实数 的取值范围．
21． （本小题满分12分）
已知函数 在同一半周期内的图象过点 ，其中 为坐标原点， 为函数 图象的最高点， 为函数 的图象与 轴的正半轴的交点.
（Ⅰ）求证： 为等腰直角三角形.
（Ⅱ）将 绕原点 按逆时针方向旋转角 ，得到 ，若点 恰好落在曲线 上（如图所示），试判断点 是否也落在曲线 上，并说明理由．
22． （本小题满分14分）
已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）试探究当 时，方程 解的个数，并说明理由．
福州市2014―2015学年度第一学期高三质量检查
文科数学试卷参考答案及评分细则
一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分，满分60分．
1．C 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D
7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．
13． 14． 15． 16．①③
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．本题主要考查一元二次方程的根、等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的和等基础知识，考查应用能力、运算求解能力，考查函数与方程思想．
解：（Ⅰ）方程 的两根为1,2，由题意得 , ． 2分
设数列 的公差为 ，则 ， 4分
所以数列 的通项公式为 ． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 8分
所以 10分
． 12分
18．本题主要考查古典概型、独立性检验等基础统计知识，考查运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．
解：（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为 ，则 分别表示这3个人不接受挑战．
这3个人参与该项活动的可能结果为： ， ， ， ， ， ， ， ．共有8种； 2分
其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有： ， ， ， ，共有4种. 4分
根据古典概型的概率公式，所求的概率为 . 6分
（说明：若学生先设“用 中的 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况”，再将所有结果写成 , , ， , , ,
, ，不扣分．）
（Ⅱ）假设冰桶挑战赛与受邀者的性别无关， 7分
根据 列联表，得到 的观测值为：
． 10分
（说明： 表示成 不扣分）．
因为 ，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“冰桶挑战赛与受邀者的性别无关”． 12分
19．本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．
解：（Ⅰ）依题意得，点 的坐标为 ． 2分
点 到直线 的距离 ， 4分
所以所求圆的方程为 ． 6分
（Ⅱ）解答一： 成等比数列，（或 成等比数列）理由如下： 7分
设直线 的方程为 ． 8分
由 消去 得， ． 10分
所以 ，即 ， 11分
所以 成等比数列（或 成等比数列）． 12分
解答二： 成等比数列，（或 成等比数列）理由如下： 7分
设直线 的方程为 ． 8分
由 消去 得， ． 10分
所以 ， 11分
所以 成等比数列（或 成等比数列）． 12分
20．本题主要考查二次函数、一元二次函数的最值、分段函数的单调性、解不等式等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类讨论思想等．
解：（Ⅰ）因为 ，所以 ， 2分
所以 在区间 上的最小值记为 ，
所以当 时， ，故 ． 4分
（Ⅱ）当 时，函数 在 上单调递减，
所以 ； 5分
结合（Ⅰ）可知， 6分
因为 时， ，所以 时， 7分
易知函数 在 上单调递减， 8分
因为定义在 的函数 为偶函数，且 ，
所以 ，所以 ， 10分
所以 即 ，从而 ．
综上所述，所求的实数 的取值范围为 ． 12分
21．本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．
解：（Ⅰ）因为函数 的最小正周期 ， 1分
所以函数 的半周期为4，
故 ． 2分
又因为 为函数 图象的最高点，
所以点 坐标为 ，故 ， 3分
又因为 坐标为 ，所以 ，
所以 且 ，所以 为等腰直角三角形. 5分
（Ⅱ）点 不落在曲线 上. 6分
理由如下：
由（Ⅰ）知， ，
所以点 , 的坐标分别为 , ， 8分
因为点 在曲线 上，
所以 ，
即 ，又 ，所以 . 10分
又 .
所以点 不落在曲线 上． 12分
22．本题主要考查函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．
解：（Ⅰ）依题意得， ， 1分
． 2分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ． 3分
（Ⅱ）等价于对任意 ， ． 4分
设 ， ．
则
因为 ，所以 ， 5分
所以 ，故 在 单调递增， 6分
因此当 时，函数 取得最小值 ； 7分
所以 ，即实数 的取值范围是 ． 8分
（Ⅲ）设 ， ．
①当 时，由（Ⅱ）知，函数 在 单调递增，
故函数 在 至多只有一个零点，
又 ，而且函数 在 上是连续不断的，
因此，函数 在 上有且只有一个零点． 10分
②当 时， 恒成立．证明如下：
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 时， ，所以 ，
又 时， ，所以 ，即 ．
故函数 在 上没有零点． 12分
③当 时， ，所以函数 在 上单调递减，故函数 在 至多只有一个零点，
又 ，而且函数 在 上是连续不断的，
因此，函数 在 上有且只有一个零点．
综上所述， 时，方程 有两个解． 14分
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