昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(文科) 2015.1
考生注意事项：
1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．
2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B铅笔．
3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．
4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
1. 已知集合 则 等于
A. B. C. D.
2．下列函数中，在区间(0， )上是减函数的是
A． B． C． D．
3. 在 中， ，则 等于
A. B. C. D.
4．某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是
A．
B．
C．
D．
5. “ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
7. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨
10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其它费用)是
A. 略有盈利 B. 略有亏损 C.没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况
8. 已知数列 满足 且 其前 项之和为 ，则满足不等式 成立的 的最小值是
A.7 B.6 C.5 D.4
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．
9. 计算： = .（ 为虚数单位）
10. 执行如图所示的程序框图，如果输入 ，那么输出的结果
是 ，如果输入 ，那么输出的结果是 ．
11. 设 ， 满足约束条件 则 的最大值是 .
12. 平面向量 与 的夹角为 ， ， ，则 = .
13. 双曲线 的离心率是_________；若抛物线 与双曲线 有相同的
焦点，则 _____________.
14. 在下列函数① ② ③ ④ ⑤ 中，满足“对任意的 ， ，则 恒成立”的函数是________.(填上所有正确的序号)
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15.（本小题满分13分）
已知函数
(I) 求函数 的最小正周期；
(II)当 时，求函数 的最大值及取得最大值时的 值．
16.（本小题满分13分）
有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：
（I）求频率分布直方图中 的值；
(Ⅱ) 分别求出成绩落在 中的学生人数；
（III）从成绩在 的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在 中的概率．
17.（本小题满分13分）
在等比数列 中， .
（I）求等比数列 的通项公式；
（II）若等差数列 中， ，求等差数列 的前 项的和 ，并求 的最大值.
18. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 为 的中点， 底面 .
（I）求证： 平面 ;
（II）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由.
19. （本小题满分14分）
已知函数
（I）求函数 的最大值；
（Ⅱ）设 其中 ，证明: ＜1.
20. （本小题满分13分）
已知椭圆C： 的离心率为 ，其四个顶点组成的菱形的面积是 ，O为坐标原点，若点A在直线 上，点B在椭圆C上，且 .
（I） 求椭圆C的方程；
（II）求线段AB长度的最小值；
（III）试判断直线 与圆 的位置关系，并证明你的结论.
昌平区2014－2015学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷(文科)参考答案及评分标准 2015.1
一、 选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D A B B C
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)
9. 10. 10 ； 4 11. 2
12. 2 13. ; 14. ① ③
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
15.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为 ………… 4分
………… 6分
所以 . ………… 7分
（Ⅱ）因为 ， ，
所以 ． …………9分
所以当 即 时，
函数 的最大值是2. …………13分
16.（本小题满分13分）
解：（I）由题意 ， . ………3分
（II）成绩落在 中的学生人数为 ，
成绩落在 中的学生人数
成绩落在 中的学生人数 . ……………6分
（III）设落在 中的学生为 ，落在 中的学生为 ，
则 ，基本事件个数为 ，
设A＝“此2人的成绩都在 ”，则事件A包含的基本事件数 ，
所以事件A发生概率 . ……………13分
17.（本小题满分13分）
解：（I）在等比数列 中，设公比为 ，
因为 ,
所以 得
所以 数列 的通项公式是 . ……………5分
（II）在等差数列 中，设公差为 .
因为 ,
所以 ……………9分
方法一
，
当 时， 最大值为72. ……………13分
方法二
由 ,当 ,解得 ,即
所以当 时， 最大值为72. ……………13分
18. （本小题满分14分）
证明：（I）在 中，
又因为 ，
所以 . 又因为 ,
所以 . ……………6分
（II）存在.当 为 中点时， . ……………7分
证明：设 的中点分别为 ，连结 ,
的中点，
所以 .
的中点，
所以 ,
,
所以 四边形 是平行四边形,
所以 .
因为 ， ，
所以 . ……………14分
19. （本小题满分14分）
解：（Ⅰ） …………………2分
当 时，f(x)＞0，f(x)单调递增； …………………4分
当 时，f(x)＜0，f(x)单调递减． …………………6分
0
＋ 0 －
↗ 极大值 ↘
所以f(x)的最大值为f(0)＝0． …………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， …………………9分
当 时， 等价于
设 ，则 ．
当 时， 则
从而当 时， ， 在 单调递减．…………………12分
当 时，
即 ，
故g(x)＜1．
综上，总有g(x)＜1． …………………14分
20. （本小题满分13分）
解：（I）由题意 ，解得 .
故椭圆C的标准方程为 . ……………3分
（II）设点A，B的坐标分别为 ，其中 ，
因为 ，所以 ，即 ， ……………4分
解得 ，又 ，
所以
=
=
= = ，……………5分
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
故线段AB长度的最小值为 . ……………7分
（III）直线AB与圆 相切. ……………8分
证明如下：
设点A,B的坐标分别为 ， ，其中 .
因为 ，所以 ，即 ，解得 . ……………9分
直线AB的方程为 ，
即 ， ……………10分
圆心O到直线AB的距离 , ……………11分
由 ， ，
故 ，
所以 直线AB与圆 相切. ……………13分
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