2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（理科）
2015.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．已知 ，则 __ ___．
2．若实数 满足 ，则 的最小值为 ．
3．设 是虚数单位，复数 满足 ，则 ．
4．函数 的反函数 ．
5．若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
．
6．若正四棱柱 的底面边长为 ，高为 ，则异面直线 与 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）
7．设数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的通项公式为 ．
8．若全集 ，不等式 的解集为 ，则 = ．
9．已知圆 ，方向向量 的直线 过点 ，则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ．
10．如图：在梯形 中， 且 ， 与 相交于 ，设 ， ，用 表示 ，则 = ．
11．已知函数 ，将 的图像向左平移 （ ）个单位后得到函数 的图像．若 的图像上各最高点到点 的距离的最小值为 ，则 的值为 ．
12．已知函数 ，其中 ．
当 时， 的零点依次记作 ，则 ．
13．在平面直角坐标系中，对于函数 的图像上不重合的两点 ，若 关于原点对称，则称点对 是函数 的一组“奇点对”（规定 与 是相同的“奇点对”）．函数 的“奇点对”的组数是 ．
14．设集合 ，则集合A中满足条件“ ”的元素个数为 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15． “ ”是“实系数一元二次方程 有虚数根”的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
16．已知 和 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出 的是 （ ）
（A） 且 （B） 且
（C） 且 （D） 且
17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有 类 ，分别编号为 ，买家共有 名 ，分别编号为 ．若 ，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
18．对于方程为 + =1的曲线 给出以下三个命题：
（1）曲线 关于原点中心对称；
（2）曲线 既关于 轴对称,也关于 轴对称，且 轴和 轴是曲线 仅有的两条对称轴；
（3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q都在曲线 上，则四边形MNPQ每一条边的边长都大于2．
其中正确的命题是（ ）
(A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
已知函数 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 ．
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数 ．
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）若函数 在 上为减函数，求 的取值范围．
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图所示，某传动装置由两个陀螺 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的 ，且 的轴相互垂直，它们相接触的直线与 的轴所成角 ．若陀螺 中圆锥的底面半径为 ．
（1）求陀螺 的体积；
（2）当陀螺 转动一圈时，陀螺 中圆锥底面圆周上一点 转动到点 ，求 与 之间的距离．
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆 （常数 ）的左顶点为 ，点 ， 为坐标原点．
（1）若 是椭圆 上任意一点， ，求 的值；
（2）设 是椭圆 上任意一点， ，求 的取值范围；
（3）设 是椭圆 上的两个动点，满足 ，试探究 的面积是否为定值，说明理由．
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知有穷数列 各项均不相等，将 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列 ，称 为 的“序数列”．例如数列： 满足 ，则其序数列 为 ．
（1）写出公差为 的等差数列 的序数列 ；
（2）若项数不少于5项的有穷数列 、 的通项公式分别是 ( )， ( )，且 的序数列与 的序数列相同，求实数 的取值范围；
（3）若有穷数列 满足 ， ，且 的序数列单调递减， 的序数列单调递增，求数列 的通项公式．
理科参考答案
一、 填空题：（每题4分）
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13. 14.
二、 选择题：（每题5分）
15. B 16. C 17. C 18. B
三、 解答题
19、解：（1） ， ……………………..2’
; ……………………..4’
（2） ，
，……………………..6’
， ，……………………..8’
又 ， ， ……………………..10’
．……………………..12’
20、解：（1） 对一切的 成立，……………………..4’
所以 ……………………..6’
（2）若 ，则函数 在 单调递增（舍）……………………..8’
当 时，令 ，……………………..9’
则函数 在 上单调递减……………………..10’
所以 ，……………………..13’
即 ……………………..14’
21、解：（1）设陀螺 圆锥的高为 ，则 ，即 ……………………..2’
得陀螺 圆柱的底面半径和高为 ……………………..3’
……………………..5’
……………………..7’
……………………..8’
（2）设陀螺 圆锥底面圆心为 ，
则 ，……………………..10’
得 ……………………..12’
在 中， ……………………..14’
22、解：（1） ，
得 ……………………..2’
，即 ……………………..4’
（2）设 ，则
……………………..5’
……………………..6’
由 ，得 ……………………..7’
∴ 当 时， 最大值为 ；……………………..8’
当 时， 最小值为 ；……………………..9’
即 的取值范围为 ……………………..10’
（3）（解法一）由条件得， ，……………………..11’
平方得 ,
即 ……………………..12’
……………………..13’
=
……………………..15’
故 的面积为定值 ……………………..16’
（解法二）①当直线 的斜率不存在时，易得 的面积为 ……………………..11’
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
……………………..12’
由 ，可得 ，
又 ，可得 ……………………..13’
因为 ，……………………..14’
点 到直线 的距离 ……………………..15’
综上： 的面积为定值 ……………………..16’
23、解：(1)当 时，序数列 为 ；……………………..2’
当 时，序数列 为 ……………………..4’
(2)因为 ，……………………..5’
当 时，易得 ，当 时， ，
又因 ， ， ， ，
即 ，
故数列 的序数列为 ，……………………..8’
所以对于数列 有 ，
解得： ……………………..10’
(3)由于 的序数列单调递减，因此 是递增数列，故 ，于是 ，
而 ，所以 ，从而 ，
(1) ……………………..12’
因为 的序数列单调递增，所以 是递减数列，同理可得 ，故 (2) ……………………..14’
由(1)(2)得： ……………………..15’
于是 ……………………..16’
……………………..17’
即数列 的通项公式为 ( )……………………..18’
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