北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2015.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合 ， ，则集合 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．设命题 ： 平面向量 和 ， ，则 为（ ）
（A） 平面向量 和 ，
（B） 平面向量 和 ，
（C） 平面向量 和 ，
（D） 平面向量 和 ，
3．在锐角 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若 ， ，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．设函数 ， ，则“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）
（A）最长棱的棱长为
（B）最长棱的棱长为
（C）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形
（D）侧面四个三角形都是直角三角形
7. 已知抛物线 ，点 ，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点 ，使得 ，则实数m的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 设D为不等式组 表示的平面区域，点 为坐标平面 内一点，若对于区域D内的任一点 ，都有 成立，则 的最大值等于（ ）
（A）2 （B）1
（C）0 （D）3
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 复数 ，则 _____．
10．设 为双曲线C： 的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果 ，那么双曲线C的方程为____；离心率为____.
3
a
11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么 ______．
12． 如图，在 中，以 为直径的半圆分别交 ， 于点 ， ，且 ，那么 ____； _____．
13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）
14. 设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转 （ ）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有_____条.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数 , x∈R的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ） 设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求 的值.
16．（本小题满分13分）
现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：
（1）投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概 率
（2）购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概 率
（Ⅰ）当 时，求q的值；
（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于 ，求 的取值范围；
（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知 ， ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱 中， 底面 ， ， ，且 ，点E在棱AB上，平面 与棱 相交于点F.
（Ⅰ）证明： ∥平面 ；
（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积的最大值.
18．（本小题满分13分）
已知函数 和 的图象有公共点P，且在点P处的切线相同.
（Ⅰ）若点P的坐标为 ，求 的值；
（Ⅱ）已知 ，求切点P的坐标.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C： 的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点 满足条件 .
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记 和 的面积分别为 ， ，求证： .
20．（本小题满分13分）
设函数 ，对于任意给定的 位自然数 （其中 是个位数字， 是十位数字， ），定义变换 ： . 并规定 ．记 ， ， ， ， ．
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）当 时，证明：对于任意的 位自然数 均有 ；
（Ⅲ）如果 ，写出 的所有可能取值.（只需写出结论）
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2015.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．D 3．A 4．C
5．C 6．D 7．B 8．A
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10．
11． 12．
13． 14．
注：第10，12题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为
……………… 2分
= ， ……………… 4分
所以 .
故函数 的最小正周期为 . ……………… 6分
由题意，得 ，
解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 . ……………… 9分
（Ⅱ）解：如图过点 作线段 垂直于 轴于点 .
由题意，得 ， ，
所以 .
………… 13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
所以 + + =1. ……………… 2分
又因为 ，
所以 = ． ……………… 3分
（Ⅱ）解：记事件A为 “甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事
件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分
则 ，且A，B独立.
由上表可知， ， .
所以 ……………… 5分
. ……………… 6分
因为 ，
所以 . ……………… 7分
又因为 ， ，
所以 .
所以 . ……………… 8分
（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），
所以随机变量 的分布列为：
4 0
…………… 9分
则 . ……………10 分
假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），
所以随机变量 的分布列为：
Y 2 0
…………… 11分
则 . …………… 12分
因为 ，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为 是棱柱，
所以平面 平面 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ∥ . …………………2分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 . …………………4分
（Ⅱ）解：因为 底面 ， ，
所以 ， ， 两两垂直，以A为原点，以 ， ， 分别为 轴、 轴和 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分
则 ， ， ，
所以 , .
设平面 的法向量为
由 ， ,
得
令 ,得 . …………………7分
又因为平面 的法向量为 ， …………………8分
所以 ，
由图可知，二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 . …………………10分（Ⅲ）解：过点F作 于点 ,
因为平面 平面 ， 平面 ,
所以 平面 ,
所以 …………………12分
.
因为当F与点 重合时， 取到最大值2（此时点E与点B重合），
所以当F与点 重合时，三棱锥 的体积的最大值为 . ………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题意，得 ， …………………1分
且 ， ， …………………3分
由已知，得 ，即 ，
解得 ， . …………………5分
（Ⅱ）解：若 ，则 ， ，
设切点坐标为 ，其中 ,
由题意，得 ， ①
， ② …………………6分
由②，得 ，其中 ，
代入①，得 . （*） …………………7分
因为 ，且 ，
所以 . …………………8分
设函数 ， ，
则 . …………………9分
令 ，解得 或 (舍). …………………10分
当 变化时， 与 的变化情况如下表所示，
1
0
↗ ↘
…………………12分
所以当 时， 取到最大值 ，且当 时 .
因此，当且仅当 时 .
所以方程（*）有且仅有一解 .
于是 ，
因此切点P的坐标为 . …………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为 ，
所以 , , , ………………2分
则 ， ， . ………………3分
因为 ，
所以 . ………………5分
（Ⅱ）解：若直线l的斜率不存在， 则有 ， ，符合题意. …………6分
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为 ， ， .
由
得 ， ……………… 7分
可知 恒成立，且 ， . ……………… 8分
因为 ……………… 10分
，
所以 . ……………… 12分
因为 和 的面积分别为 ，
， ……………… 13分
所以 . ……………… 14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解： ， ， ， ， ， ，……
所以 ． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数 ，
所以对于非负整数 ，知 .（当 或5时，取到最大值）… 4分
因为 ，
所以 ． ……………… 6分
令 ，则 ．
当 时， ，
所以 ，函数 ，（ ，且 ）单调递增．
故 ，即 ．
所以当 时，对于任意的 位自然数 均有 . …………………9分
（Ⅲ）答： 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．
…………………14分
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