北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷
高三数学（文科） 2015.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合 ， ，则集合 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．设命题 ： ，则 为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．在锐角 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若 ， ，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．设函数 的定义域为 ，则“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天
13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7． 设抛物线 的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l： 的距离为 ，则有（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 如图，在空间四边形 中，两条对角线 互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边 分别相交于点 ，记四边形 的面积为y，设 ，则（ ）
（A）函数 的值域为
（B）函数 的最大值为8
（C）函数 在 上单调递减
（D）函数 满足
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 复数 ，则 ______.
10．设平面向量 满足 ， ， ，那么 的夹角 ____.
11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.
12．设 为双曲线C： 的左、右焦点，且直线 为双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果 ，那么双曲线C的方程为____；离心率为_____.
13. 某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.
14. 设函数
（1）如果 ，那么实数 ___；
（2）如果函数 有且仅有两个零点，那么实数 的取值范围是___.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数 ，x∈R .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）判断函数 在区间 上是否为增函数？并说明理由.
16．（本小题满分13分）
已知数列 满足 ，且其前 项和 ．
（Ⅰ）求 的值和数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 为等比数列，公比为 ，且其前 项和 满足 ，求 的取值范围．
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱 中， 底面 ， ， ，且 ， . 点E在棱AB上，平面 与棱 相交于点F.
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）写出三棱锥 体积的取值范围. （结论不要求证明）
18．（本小题满分13分）
最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：
（1） 投资股市：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概 率
（2） 购买基金：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概 率
（Ⅰ）当 时，求q的值；
（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求 的取值范围；
（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C： 的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点 满足条件 .
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记 和 的面积分别为 ， ，若 ,求直线l的方程.
20．（本小题满分13分）
对于函数 ，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数 和 在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.
设函数 , .
（Ⅰ）当 , 时, 判断函数 和 是否相切？并说明理由；
（Ⅱ）已知 ， ，且函数 和 相切，求切点P的坐标；
（Ⅲ）设 ，点P的坐标为 ，问是否存在符合条件的函数 和 ，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为 呢？（结论不要求证明）
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2015.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．B 3．A 4．C
5．B 6．D 7．A 8．D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10．
11. 12．
13． 14． 或4
注：第12，14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为
……………… 3分
， ……………… 5分
所以函数 的最小正周期 . ……………… 7分
（Ⅱ）解：结论：函数 在区间 上是增函数. ……………… 9分
理由如下：
由 ，
解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ， . ……………… 12分
当 时，知 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 上是增函数. ……………… 13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题意，得 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 . ……………… 3分
所以 ．
当 时，由 ， ……………… 5分
得 . ……………… 7分
验证知 时， 符合上式，
所以 ， . ……………… 8分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得 . ……………… 10分
因为 ，
所以 ，
解得 ． ……………… 12分
又因为 ，
所以 的取值范围是 ． ……………… 13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为 是棱柱，
所以平面 平面 .
又因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ∥ . …………………3分
又 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 . …………………6分
（Ⅱ）证明：在四边形ABCD中，
因为 ， ,且 ， ， ，
所以 ， .
所以 ，
所以 ，即 . …………………7分
因为 平面 平面 ，
所以 .
因为在四棱柱 中， ，
所以 . …………………9分
又因为 平面 ， ，
所以 平面 . …………………11分
（Ⅲ）解：三棱锥 的体积的取值范围是 . …………………14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种
且三种投资结果相互独立，
所以 + + =1. ……………… 2分
又因为 ，
所以 = ． ……………… 3分
（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，
得 ， ……………… 4分
因为 + + =1，
所以 ，解得 . ……………… 7分
又因为 ， ，
所以 .
所以 . ……………… 8分
（Ⅲ）解：记事件 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”， ………… 9分
用 ， ， 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用 ， ， 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，
则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有 种， 它们是： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ……………10分
所以事件 的结果有5种，它们是： ， ， ， ， .
…………… 11分
因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 . …………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为 ，
所以 , , , ………………2分
则 ， ， . ………………3分
因为 ，
所以 . ………………5分
（Ⅱ）解：若直线l的斜率不存在，则有 ，不合题意. ………………6分
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ， ， .
由
得 ， ……………… 7分
可知 恒成立，且 ， . ……………… 8分
因为 和 的面积分别为 ， ,
所以 . ……………… 9分
即 .
所以 ， ， ……………… 11分
则 ，
即 ，
即 ，
解得 . ……………… 13分
所以直线l的方程为 或 . ……………… 14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：结论：当 , 时,函数 和 不相切. …………………1分
理由如下：
由条件知 ，
由 ，得 ，
又因为 ， ， …………………2分
所以当 时， ， ，
所以对于任意的 ， .
当 , 时,函数 和 不相切. …………………3分
（Ⅱ）解：若 ，则 ， ，
设切点坐标为 ，其中 ,
由题意，得 ， ①
， ② …………………4分
由②，得 ，
代入①，得 . （*） …………………5分
因为 ，且 ，
所以 .
设函数 ， ，
则 . …………………6分
令 ，解得 或 (舍). …………………7分
当 变化时， 与 的变化情况如下表所示，
1
0
↗ ↘
…………………8分
所以当 时， 取到最大值 ，且当 时 .
因此，当且仅当 时 .
所以方程（*）有且仅有一解 .
于是 ，
因此切点P的坐标为 . …………………9分
（Ⅲ）解：当点 的坐标为 时，存在符合条件的函数 和 ，使得它们在点
处相切； …………………11分
当点 的坐标为 时，不存在符合条件的函数 和 ，使得它们在点 处相
切. …………………13分
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