上海市青浦区2015届高三上学期期末学业质量调研测试（一模）
数学试题
Q.2015.01.05
（满分150分，答题时间120分钟）
学生注意：
1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
3． 可使用符合规定的计算器答题．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．若复数 （ 为虚数单位），则 的值为_____________.
2. 设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 .
3． 展开式中有理项的个数是 .
4．直线 的倾斜角 .
5．已知函数 与 ，它们的图像有一个横坐标为 的交点，则 的值是 ．
6．平面 截半径为 的球 所得的截面圆的面积为 ，则球心 到平面 的距离为__ _ _ .
7．函数 的反函数为 ，如果函数 的图像过点 ，那么函数 的图像一定过点 .
8. 已知函数 对任意的 满足 ，且当 时， ．若
有4个零点，则实数 的取值范围是 ．
9.抛物线 的动弦 的长为 ，则弦 中点 到 轴的最短距离是 .
10．若甲乙两人从 门课程中各选修 门，则甲乙所选的课程中恰有 门相同的选法有 种.
11．已知 ，则无穷数列 前 项和的极限为 .
12.已知正实数 满足 ，则 的最小值为 ．
13. 设函数 在 上有定义，对于任意给定正数 ，定义函数
，则称函数 为 的“孪生函数”，若给定函数
， ，则 .
14.当 和 取遍所有实数时， 恒成立，则 的最小值为 .
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.已知 ，则向量 与向量 的夹角为………（ ）.
（A） （B） （C） （D）
16.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是…………………………………………………………………………………………（ ）.
（A）若 ，则 // （B）若 // ，则
（C）若 ，则 // 或 （D）若 ，则
17．设 为正实数，则“ ”是“ ”成立的………………（ ）．
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
18.设函数 ，函数 ，则方程 实数根的个数是……………………………………………………………………………（ ）.
（A） 个 （B） 个 （C） 个 （D） 个
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.
如图所示，在长方体 中， ， ，
， 为棱 上一点.
（1）若 ，求异面直线 和 所成角的正切值；
（2）若 ，求证 平面 .
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.
如图，摩天轮上一点 在 时刻距离地面高度满足 ， ，已知某摩天轮的半径为 米，点 距地面的高度为 米，摩天轮做匀速转动，每 分钟转一圈，点 的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出 （米）关于 （分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 距离地面超过 米?
21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
如图所示的“8”字形曲线是由两个关于 轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是 ，双曲线的左、右顶点 、 是该圆与 轴的交点，双曲线与半圆相交于与 轴平行的直径的两端点．
（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为 、 ，试在“8”字形曲线上求点 ，使得 是直角．
22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
已知数列 是公差不为 的等差数列， 数列 是等比数列，且 ， ，数列 的前 项和为 ，记点 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：点 在同一直线 上，并求出直线 方程；
（3）若 对 恒成立，求 的最小值．
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
已知函数 .
（1）作出函数 的图像，并求当 时 恒成立的 取值范围；
（2）关于 的方程 有解，求实数 的取值范围；
（3）关于 的方程 （ ）恰有 个不同的实数解，求 的取值范围.
参考答案及评分标准 2015.01
说明
1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．
4．给分或扣分均以1分为单位．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1． ； 2. ；
3． ； 4． ；
5． ； 6． ；
7． ； 8. ；
9. ； 10． ；
11． ； 12. ；
13. ； 14. .
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15. ；16. ； 17． ；18. .
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.
19. 解（1）由题意， ， ，得 ………… 1分
，所以异面直线 和 所成角即为 和 所成角 ………… 3分
长方体 中， ， 面 ，
，故可得 为锐角且 …………………… 6分
（2）由题意， ， ，
， ，即 ……………………………… 8分
又由 面 可得 ………………………………………… 10分
故 平面 . ………………………………………………………………12分
（说明：建立空间直角坐标系的相应给分）
20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.
解：（1）由题设可知 ， ， …………………… 2分
又 ，所以 ， …………………… 4分
从而 ，
再由题设知 时 ，代入 ，得 ，从而 ， …………………… 6分
因此， . …………………… 8分
（2）要使点 距离地面超过 米，则有 ，……… 8分
即 ，又 解得 ，
即 …………………… 10分
所以，在摩天轮转动的一圈内，点 距离地面超过 米的时间有 分钟.…… 14分
21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解（1）设双曲线的方程为 ，在已知圆的方程中，令 ，
得 ，即 ，则双曲线的左、右顶点为 、 ，于是 …………………… 2分
令 ，可得 ，解得 ，即双曲线过点 ，则 所以 ，…………… 4分
所以所求双曲线方程为 ……………………6分
（2）由（1）得双曲线的两个焦点 ， …………………… 7分
当 时，设点 ，
①若点 在双曲线上，得 ，
由 ，得 由 ，解得 所以 …… 11分
②若点 在上半圆上，则 ，由 ，
得 ，由 无解…………………… 13分
综上，满足条件的点有4个，分别为
…………………… 14分
22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
解（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，由题设可得
因为数列 是公差不为0的等差数列，所以 ，即
……………………………………………4分
（2）
，
即点 ，在同一条直线 上。
……………………………………………8分
（3） ，…………………………………9分
令 ， ， 随着 的增大而增大…………………………………10分
当 为奇数时， 在奇数集上单调递减， ，
…………………………………………12分
当 为偶数时， 在偶数集上单调递增， ，
…………………………………………14分
， ， ，
即 的最小值是 ……………………………………………16分
23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）解：
…………………………………………1分
是偶函数………………………………………………………………2分
在区间 和 上单调递增，在区间 和 上单调递减………3分
的最大值是 ，无最小值，值域为 …………………………………………4分
（说明：在端点 和 处可开可闭，在 处必须是开的，两个区间可以用“和”连接，但不能用“ ”连接；写对值域给分）
（作图如下：）
…………………………6分
（2）因为关于 的不等式 恒成立，令 ，则 …………………7分
即不等式 上恒成立…………………………………………8分
当 时， ………………………………………………………9分
…………………………………………………………………………10分
又 ……………………………………………………11分
……………………………………………………………………………………12分
（3）关于 的方程 （ ）恰有6个不同的实数解即 有6个不同的解，…………………………………………13分
数形结合可知必有 和 ， ………………………………14分
令 ，则关于 的方程 有一根为2，另一根在 间
…………………………………………………………………………………………15分
…………………………………………………18分
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