2014—2015学年度上学期期末考试高三年级
数学科（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ，集合 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2. 已知复数z=1+i,则z2-2zz-1 = ( )
（A） -2i （B） 2i （C） -2 （D） 2
3. 如图，若 ， ，输入x＝0.25，则输出h(x)＝ ( )
（A）0.25
（B）2log32
（C）－12log23
（D）－2
4. 下列选项中，说法正确的是 （ ）
（A）命题“ ”的否定是“ ”
（B）命题“ 为真”是命题“ 为真”的充分不必要条件
（C）命题“若 ，则 ”是假命题
（D）命题“在△ABC中，若 ，则 ”的逆否命题为真命题
5. 一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶（汽车与人前进方向相同），汽车在时间t内的路程为s＝12t2米，那么，此人 （ ）
（A）可在7秒内追上汽车 （B）可在9秒内追上汽车
（C）不能追上汽车，但其间最近距离为14米
（D）不能追上汽车，但其间最近距离为7米
6. 在△ABC中， ，则三角形ABC的形状一定是 ( )
（A）等边三角形 （B）等腰三角形
（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形
7. 函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图象，只需把 的图象上所有点 （ ）
（A） 向右平移 个单位长度 （B）向右平移 个单位长度
（C） 向左平移 个单位长度 （D）向左平移 个单位长度
8. 抛物线x2＝12y在第一象限内图象上一点(ai,2a2i)处的切线与x轴交点的横坐标记
为ai＋1，其中 ，若a2＝32，则a2＋a4＋a6等于 （ )
（A）64 （B）42 （C）32 （D）21
9. 已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>b>0)的左右两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N（设点M,N均在第一象限），当直线MF1与直线ON平行时，双曲线的离心率取值为e0，则e0所在的区间为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10. 设k是一个正整数， 的展开式中第四项的系数为 ，记函数y=x2与y=kx的图像所围成的阴影部分为S，任取x [0,4]，y [0,16]，则点(x,y)恰好落在阴影区域内的概率为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
11. 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1= 。设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为 （ ）
（A） 1 （B） （C） （D）
12. 已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数，且满足对任意的实数x都有 ，则f(x)+f(-x) 的最小值等于 （ ）
（A） 2 （B）4 （C）8 （D）12
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题:本大题共4个小题,每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13. 在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者。三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有______种(用数字作答)．
14. 设实数x,y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为10，则 的最小值为 。
15. 把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C-ABD的正视图和俯视图如右图所示，则侧视图的面积为 。
16.定义域为R的函数 ，若关于x的方程h(x)=[f(x)]2+bf(x)+ b2- ，有五个不同的零点x1,x2,x3,x4,x5。设x1<x2<x3<x4<x5,且x1,x2,x3,x4,x5构成一个等差数列的前五项，则该数列的前10项和为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的最大值，并写出 取最大值时 的取值集合；
（Ⅱ）已知 中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若 b+c=2。求实数a的取值范围。
18. （本小题满分12分）
在某次考试中，从甲乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析，两个班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分的为及格。
（1） 用样本估计总体，请根据茎叶图对甲乙两个班级的成绩进行比较。
（2） 求从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格的条件下乙班同学不及格的概率；
（3） 从甲班10人中抽取一人，乙班10人中抽取二人，三人中及格人数记为X，求X的分布列和期望。
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，DD1 平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=2A1B1,
（1）证明：BB1 AC；
（2）若AB=2，且二面角A1-AB-C大小为60 ，连接AC,BD，设交点为O，连接B1O。求三棱锥B1-ABO外接球的体积。
（球体体积公式： ,R是球半径）
20. （本小题满分12分）
设抛物线C1:y2=4x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率为 的椭圆记作C2
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点。当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|长。
（3） 若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆 ,是否存在定圆 ,使得 与 恒相切？若存在，求出 的方程，若不存在，请说明理由。
21. （本小题满分12分）
已知函数 (a是实数)， +1。
（1） 若函数f(x)在[1，+ ）上是单调函数，求a的取值范围；
（2） 是否存在正实数a满足：对于任意 ，总存在 ，使得f(x1)=g(x2)成立，若存在求出a的范围，若不存在，说明理由。
（3） 若数列 满足 ，求证： 。
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 的弦， 的平分线 交⊙ 于 ，过点 作 交 的延长线于点 ， 交 于点 .若 ，求 的值。
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度. 已知曲线 ，过点 的直线 的参数方程为 （t为参数）。直线 与曲线 分别交于 .若 成等比数列,求实数 的值。
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的定义域；
（2）若关于 的不等式 的解集是 ，求 的取值范围．
2014—2015学年度上学期期末考试高三年级
数学科（理科）参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B D C D C A B A C A B
二．填空题
13. 10 14. 15. 16. 35
三．解答题
17、本小题满分12分
解（Ⅰ）
.
∴函数 的最大值为 .
当且仅当 即 ，即 时取到。
所以函数最大值为2时 的取值集合为 . ……（6分）
（Ⅱ）由题意， ，化简得
， ， ∴ ， ∴
在 中，根据余弦定理，得 .
由 ，知 ，即 .∴当 时，取等号。
又由b+c>a得a<2.所以a的取值范围是[1,2 ）。………………（12分）
18、本小题满分12分
解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。
甲班的方差>乙班的方差
所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。……（4分）
（本小问只要学生说出两点以上正确的分析内容就可以给分）
（2）事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，已知有人及格”记A;
事件“从甲班10名学生和乙班10名学生中各抽取一人，乙班同学不及格”记B
则 ……………………（8分）
（3）X的取值为0,1,2,3，
分布列为
X 0 1 2 3
P
期望 ……………………（12分）
19、本小题满分12分
证明：（1）底面平行四边形ABCD中，连接AC,BD，设
因为AB=AD, ，所以AC BD
又DD1 平面ABCD，所以DD1 AC，所以AC 平面BDD1，
又因为四棱台ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1与BB1延长后交于一点，
所以 平面BDD1，所以AC BB1。即BB1 AC 。…………（4分）
（2）因为四边形ABCD为平行四边形， 所以
由棱台定义及AB=AD=2A1B1知D1B1//DO，且D1B1=DO，
所以边四形D1B1OD为平行四边形， 所以DD1//B1O 。
因为DD1 平面ABCD，所以B1O 平面ABCD，即B1O AO, B1O BO
由（1）知AC BD于点O,即AO BO
以DB,AC,OB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图：则
A(0，- ,0)，B（1，0,0），D(-1，0，0)，设B1（0,0，h），则D1（-1，0，h）；设A1(a,b,h) (h>0)
则 =(1，- ,0)， =（a+1,b,0）， 因为 = ，
所以a=- ,b= . 即A1(- ， ，h) 。
所以 ，
设平面A1AB的一个法向量为 ，
则 ，即
取y= ,则x=-3,z=
即 ，又已知平面ABC的一个法向量
由二面角A1-AB-C大小为60 ，可得
解得：h= 即棱台的高为
因为B1O AO, B1O BO，AO BO
所以三棱锥B1-ABO外接球的直径就是以OA,OB,OB1为三条棱的长方体的体对角线,长为 ，所以外接球半径R=
所以外接球体积为 .………（12分）
20、本小题满分12分
解：（1）椭圆方程 ……………………（2分）
（2）当直线L与x轴垂直时，B1(1， ),B2(1，- ),又F1(-1,0),
此时 ，所以以B1B2为直径的圆不经过F1。不满足条件。
当直线L不与x轴垂直时，设L：y=k(x-1)
由
因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点。
设B1(x1,y1)，B2（x2,y2）,则
因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以 ，又F1(-1，0)
所以（-1-x1）(-1-x2)+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+(1-k2)(x1+x2)+1+k2=0
所以解得
由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
因为直线L与抛物线有两个交点，所以
设A1(x3,y3) ，A2(x4,y4)，则
所以 …………(8分)
（3）存在定圆 ,使得 与 恒相切，
其方程为：(x+1)2+y2=16,圆心是左焦点F1.
由椭圆的定义可知：
所以两圆相内切。 ……………………（12分）
21、本小题满分12分
解：（1） ,x [1，+ ）
显然a 0时， 0，函数f(x)在[1，+ ）上是单调增函数，符合要求。
当a<0时，令g(x)=ax2+x-1, 当x + 时g(x) x - 时,
所以函数f(x)在[1，+ ）上只能是单调减函数。
所以 0或 ， 解得
综上：满足条件的a的取值范围是 。…………（3分）
（2）不存在满足条件的正实数a。因为
由 （1）知，a>0时f(x)在[1，+ ）上是单调增函数，
所以f(x)在[1，2]上是单调增函数。
所以对于任意 ，f(1) f(x1 ) f(2)，
即f（x1） ;
，当 时， ，
所以g(x)在[1,2]上是单调减函数。
所以当 时，
若对于任意 ，总存在 ，使得f(x1)=g(x2)成立，
则 ，此时a无解。…………（7分）
（3）因为 ，所以x1>0时，0<xn+1 1，
（当且仅当xn=1时取等号）
若xn=1，则x1=1，这与已知矛盾，所以 。
（两个等号不能同时成立）
所以
又 所以 xn+1>xn ,所以
又
所以
……………………（12分）
另解：因为 ，所以x1>0时，0<xn+1 1，
（当且仅当xn=1时取等号）
若xn=1，则x1=1，这与已知矛盾，所以 。
又 所以 xn+1>xn ,所以
设xn=t，则t
设 ，
则
所以函数h(t)在t 时是单调减函数，所以
即
所以
因为 所以
所以
22、本小题满分10分
解： 连接OD，BC，设BC交OD于点M.
因为OA=OD,所以 OAD= ODA;又因为 OAD= DAE,所以 ODA= DAE
所以OD//AE；又 因为AC BC,且DE AC，所以BC//DE。
所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD
由 ，设AC=3x，AB=5x,则OM= ，又OD= ,所以MD= - =x
所以AE=AC+CE=4x
因为OD//AE，所以 = 。
23、本小题满分10分
解：曲线C的直角坐标方程为y2=2ax (a>0)
将直线l的参数方程化为
代入曲线C的直角坐标方程得：
因为交于两点，所以 ，即a>0或a<-4.
设交点M,N对应的参数分别为 .则
若 成等比数列,则
解得a=1或a=-4(舍)
所以满足条件的a=1. …………………… （10分）
24、本小题满分10分
解：（1）由题设知： ，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或 ，或
解得函数 的定义域为 ；…………（5分）
（2）不等式 即 ，
时，恒有 ，
不等式 解集是R，
的取值范围是 …………（10分）
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