2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷
高三年级数学学科（文科）
2015.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．已知 ，则 __ ___．
2．若实数 满足 ，则 的最小值为 ．
3．设 是虚数单位，复数 满足 ，则 ．
4．函数 的反函数 ．
5．若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
．
6．若正四棱柱 的底面边长为 ，高为 ，则异面直线 与 所成角的大小是______________（结果用反三角函数值表示）．
7．已知无穷等比数列 的各项和为1，则首项 的取值范围为 ．
8．若全集 ，不等式 的解集为 ，则 = ．
9．设数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的通项公式为 ．
10．已知圆 ，方向向量 的直线 过点 ，则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 ．
11．如图：在梯形 中， 且 ， 与 相交于 ，设 ， ，用 表示 ，则 = ．
12．已知函数 ，将 的图像向左平移 （ ）个单位后得到函数 的图像，若 的图像上各最高点到点 的距离的最小值为 ，则 的值为 ．
13．在平面直角坐标系中，对于函数 的图像上不重合的两点 ，若 关于原点对称，则称点对 是函数 的一组“奇点对”（规定 与 是相同的“奇点对”）．函数 的“奇点对”的组数是 ．
14．设集合 ，那么集合A中满足条件“ ”的元素个数为 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．
15．若 是关于 的实系数一元二次方程 的一个复数根，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
16．已知直线 和平面 ，无论直线 与平面 具有怎样的位置关系，在平面 内总存在一条直线与直线 （ ）
（A）相交 （B）平行 （C）垂直 （D）异面
17．若函数 的图象如右图所示，（其中 为常数）
则函数 的大致图象是（ ）
18．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有 类 ，分别编号为 ，买家共有 名 ，分别编号为 ．若 ，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
已知函数 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 ．
20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数 ．
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）若函数 在 上为减函数，求 的取值范围．
21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图所示，某传动装置由两个陀螺 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的 ，且 的轴相互垂直，它们相接触的直线与 的轴所成角 ．若陀螺 中圆锥的底面半径为 ．
（1）求陀螺 的体积；
（2）当陀螺 转动一圈时，陀螺 中圆锥底面圆周上一点 转动到点 ，求 与 之间的距离．
22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，点 ， 为坐标原点．
（1）若 是椭圆 上任意一点， ，求 的值；
（2）设 是椭圆 上任意一点， ，求 的取值范围；
（3）过 作斜率为 的直线 交椭圆 于 两点，交 轴于点 ，若 ， ，试探究 是否为定值，说明理由．
23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知有穷数列 各项均不相等，将 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列 ，称 为 的“序数列”．例如数列： 满足 ，则其序数列 为 ．
(1)若 ， 且 ，写出数列： 的序数列并说明理由；
(2)求证：有穷数列 的序数列 为等差数列的充要条件是有穷数列 为单调数列；
(3) 若项数不少于5项的有穷数列 、 的通项公式分别是 ( )， ( )，且 的序数列与 的序数列相同，求实数 的取值范围．
文科参考答案
一、 填空题：（每题4分）
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13. 14.
二、 选择题：（每题5分）
15. A 16. C 17. D 18. C
三、 解答题
19、解：（1） ， ……………………..2’
; ……………………..4’
（2） ，
，……………………..6’
， ，……………………..8’
又 ， ， ……………………..10’
．……………………..12’
20、解：（1） 对一切的 成立，……………………..4’
所以 ……………………..6’
（2）若 ，则函数 在 单调递增（舍）……………………..8’
当 时，令 ，……………………..9’
则函数 在 上单调递减……………………..10’
所以 ，……………………..13’
即 ……………………..14’
21、解：（1）设陀螺 圆锥的高为 ，则 ，即 ……………………..2’
得陀螺 圆柱的底面半径和高为 ……………………..3’
……………………..5’
……………………..7’
……………………..8’
（2）设陀螺 圆锥底面圆心为 ，
则 ，……………………..10’
得 ……………………..12’
在 中， ……………………..14’
22、解：（1） ，
得 ……………………..2’
，即 ……………………..4’
（2）设 ，则
……………………..5’
……………………..6’
由 ，得 ……………………..7’
当 时， 最大值为 ；……………………..8’
当 时， 最小值为 ；……………………..9’
∴综上所述： 的取值范围为 ……………………..10’
（3）由题，得 ， ， ，
直线 的方程为 ，则 ，
由 ，得 ，……………………..12’
故 ， ……………………..13’
由 得 ，
即 ，同理 ……………………..14’
所以
即 为定值……………………..16’
23、解：(1)因为 且 ，
所以 ，……………………..2’
……………………..4’
故数列 的序数列 ；……………………..5’
(2)充分性：因为数列 是单调数列时， 或 ，
所以其序数列为 或 均为等差数列；……………………..8’
必要性：当数列 的序数列为等差数列时，其序数列必为 或 ，所以有 或 ，
所以数列 为单调数列；……………………..11’
(3)因为 ，……………………..13’
当 时，易得 ，当 时， ，
又因 ， ， ， ，
即 ，
故数列 的序数列为 ，……………………..16’
所以对于数列 有 ，解得： ……………………..18’
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