2015年沈阳市高中三年级教学质量监测(一)
数 学(理科)
命题：沈阳市第四中学 孙玉才 沈阳市第二十中学 金行宝
沈阳市第九中学 付一博 沈阳市第一二0中学 潘 戈
沈阳市回民中学 庞红全 沈阳市第二十八中学 陶 慧
主审：沈阳市教育研究院 王恩宾
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效.
3. 考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设复数 满足 ，则 的共轭复数
A． B． C． D．
2．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，4}，N＝{2，3}，则集合{5，6}等于
A．M∪N B．M∩N C．
3. “x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．抛物线 的焦点坐标是
A. B. C. D.
5. 设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则
A. B. C. D.
6. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： ）可得这个几何体的体积是
A. B. C. 3 D. 4
7. 已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 若执行右面的程序框图，则输出的 值是
A．4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 由曲线 围成的封闭图形的面积为
A． B． C． D．1
10. 在△ 中， 为 的三等分点，则
A. B. C. D.
11. 函数 的图象按向量 平移之后得到的函数图象与函数 的图象所有交点的橫坐标之和等于
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
12. 若定义在 上的函数 满足 则不等式 ( 为自然对数的底数)的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.)
13. 若双曲线 的标准方程是 ，则双曲线 的渐近线方程是 .
14. 数列 是等比数列，若 ，则 .
15.若直线 经过点 ，则直线 在 轴和 轴的截距之和的最小值是 .
16. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BC AC， A= ，AC=4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值 .
三、解答题：（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17．（本小题满分12分）已知函数 .
（I）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（II）当 时，求函数 的值域.
18. (本小题满分12分)如图，四棱锥 的底面是正方形， ⊥平面 ， ，点E是SD上的点，且 .
（I）求证：对任意的 ，都有AC⊥BE；
（II）若二面角C-BE-A的大小为 ，求实数 的值.
19．(本小题满分12分)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖. 甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张. 每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为 ，且三人投票相互没有影响. 若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖.
（I）求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；
（II）求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和 的分布列及数学期望.
20. (本小题满分12分)如图所示，椭圆
C： ，其中 ，焦距为2，过点M（4，0）的直线 与椭圆C交于点A、B，点 在 之间. 又点A，B的中点横坐标为 ，且 .
（1）求椭圆 的标准方程 ； （II）求实数 的值.
21.（本小题满分12分）已知函数 ( )， 为自然对数的底数.
（I）过点 的切线斜率为2，求实数 的值；
（II）当 时，求证： ；
（III）在区间 上 恒成立，求实数 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，已知 为圆O的直径，C、D是圆O上的两个点， 于 ， 交 于 ，交 于 ， ．
（I）求证：C是劣弧BD的中点；（II）求证： ．
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 （ 为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角 .
（I）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
（II）设直线l与圆C相交于A、B两点，求 的值.
24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设函数 ．
（I）解不等式f(x)>0；
（II）若f(x)+ >m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．
2015年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）
数学（理科）参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
参考答案 B D B C D B A A B B D A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共70分.
17.解：（I） …………2分
. …………4分
函数 的最小正周期为T= . …………6分
因为 ， ，
所以函数 的单调递增区间是 . …………8分
， …………10分
. …………12分
18.（I）证明：如图建立空间直角坐标系 ，
则 ，
， …………3分
∴ 对任意 都成立，
即AC⊥BE恒成立. …………5分
(II)解： 设平面 的一个法向量为 ，
∵ ，
∴ ，
取 ，则 ， . …………7分
设平面 的一个法向量为 ，
∵ ，
∴ ，
取 ，则 ， ， …………9分
∵二面角C-AE-D的大小为 ，
∴ ，
∴ 为所求. …………12分
10. 解：（I）设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A，则事件A包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票。
∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为 ，且三人投票相互没有影响，
∴ ＋ ……………………6分
(II)所含“获奖”和“待定”票数之和 的值为0，1，2，3.
; ;
; . ……8分
因此 的分布列为
X 0 1 2 3
P
…………10分
所以 的数学期望为 . ……12分
（亦可X服从二项分布B（n,p）同样给分）（12分）
20.解：（I）由条件可知， ， …………2分
故 ，
椭圆的标准方程是 . …………4分
(II)由 ，可知 三点共线，设 .
若直线 轴，则 ，不合题意. …………5分
当AB所在直线 的斜率 存在时，设直线 的方程为 .
由 消去 得 . ①
由①的判别式 ，解得 .
， …………7分
由 ，可得 ，如图 . …………9分
将 代入方程①，得 ， .
又因为 , ， ，
所以 . …………12分
21.解答：（I） ， ， . …………2分
(Ⅱ)令 . ………4分
令 ，即 ，解得 ，
所以 在(0，1)上递减，在 上递增.
所以 最小值为 ，所以 . ………6分
(Ⅲ) 由题意可知 ，化简得 ， ＞ . …………８分
，
…………9分
由（Ⅱ）知，在
………………11分
………………12分
22.解：（I） CF=FG ， .
圆O的直径， .
， .
， .
，
， . …………5分
(II) ，
， ， …………10分
23．解：（I）圆的标准方程为 . …………2分
直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数）. …………5分
（Ⅱ）把直线的方程 代入 ，
得 ， ， …………8分
所以 ，即 ． …………10分
24.解：（I）当x 时， f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0，得x>-5，所以x 成立.
当 时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0，得x>1，所以1<x<4成立.
当 时， f(x)=-x-5>0，得x<-5，所以x<-5成立.
综上，原不等式的解集为{x|x>1或x<-5} . …………5分
(II)f(x)+ =|2x+1|+2|x-4| .
当 ，所以m<9. …………10分
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