资阳市高中2012级第二次诊断性考试
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分。考试时间120分钟。考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数 是纯虚数，则实数m的值为
(A)－1 (B)1
(C) (D)
2．集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
3．“ ”是“直线 和 互相平行”的
(A) 充要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分不必要条件 (D)既不充分又不必要条件
4．设抛物线 上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为
(A)3 (B)4
(C)5 (D)6
5．有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是
(A)8 (B)12
(C)36 (D)48
6．在不等式组 所表示的平面区域内任取一点P，若点P的坐标(x,y)满足 的概率为 ，则实数k＝
(A) 4 (B)2
(C) (D)
7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为
(A) (B)
(C) 0 (D)
8．已知 a、b为平面向量，若a＋b与a的夹角为 ，a＋b与b的夹角为 ，则
(A) (B)
(C) (D)
9．已知F1、F2是双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为
(A) (B)
(C) 2 (D) 3
10．定义在R上的函数 满足 ，当 时， 函数 ．若 ， ，不等式 成立，则实数m的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．二项式 展开式中 的系数是________．
12．某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1～1000编号，并按照编号顺序平均分成100组(1～10号，11～20号，…，991～1000号)．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为_________．
13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
14．若直线 与圆C: 相交于A、B两点，则 ＝______．
15．已知函数 ，若对给定的△ABC，它的三边的长a, b, c均在函数 的定义域内，且 也为某三角形的三边的长，则称 是 “保三角形函数”，给出下列命题：
①函数 是“保三角形函数”；
②函数 是“保三角形函数”；
③若函数 是“保三角形函数”，则实数k的取值范围是 ；
④若函数 是定义在R上的周期函数，值域为 ，则 是“保三角形函数”；
⑤若函数 是“保三角形函数”，则实数t的取值范是 ．
其中所有真命题的序号是_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数 ．
(Ⅰ)求函数 的最小正周期；
(Ⅱ)设 ，且 ，求 的值．
17.（本小题满分12分）
在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：
(Ⅰ)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(Ⅱ)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为 ，求 的分布列和数学期望．
18．（本小题满分12分）
四棱锥S－ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．
(Ⅰ)求证：MN∥平面SAD；
(Ⅱ)求二面角S－CM－D的余弦值．
19.（本小题满分12分）
等差数列 的前n项和为 ，数列 是等比数列，满足 ， ， ， ．
(Ⅰ)求数列 和 的通项公式；
(Ⅱ)令 设数列 的前n项和 ，求 ．
20.（本小题满分13分）
已知椭圆Ω： 的焦距为 ，且经过点 ．
(Ⅰ)求椭圆Ω的方程；
(Ⅱ)A是椭圆Ω与 轴正半轴的交点, 椭圆Ω上是否存在两点M、N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知函数 （其中 ，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．
(Ⅰ)当 时，求函数 的极值；
(Ⅱ)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)求证：对任意正整数n，都有 ．
资阳市高中2012级第二次诊断性考试
（数学学科）参考答案及评分意见（理工类）
一、选择题：BACCB，DADCC．
二、填空题：11. －40；12. 96；13. ；14. 4；15. ②③⑤.
三、解答题：
16.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)
， 4分
故函数 的最小正周期是π． 6分
(Ⅱ)由 ，即 ，得 ， 7分
因为 ，所以 ，可得 ， 9分
则 11分
． 12分
17.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)学生甲的平均成绩 ，
学生乙的平均成绩 ，
又 ，
，
则 ， ，
说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛. 6分
注：(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）
(2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）
(Ⅱ) 的所有可能取值为0，1，2，则
， ， ，
的分布列为
0 1 2
P
所以数学期望 ． 12分
18．（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)如图，取SD的中点R，连结AR、RN，
则RN∥CD，且RN＝ CD，AM∥CD，
所以RN∥AM，且RN＝AM，
所以四边形AMNR是平行四边形，
所以MN∥AR，由于 平面SAD，MN在平面SAD外，
所以MN∥平面SAD． 4分
(Ⅱ)解法1：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系， ， ， ， ， ，
设面SCM的法向量为 ， 6分
则 有
令 ， ，取面ABCD的法向量 ，
8分
则 ，
所以二面角S－CM－D的余弦值为 ． 12分
解法2：如图，取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM＝H，连结SH，由SO⊥AD，且面SAD⊥面ABCD，
所以SO⊥平面ABCD，SO⊥CM，
易得△ABO≌△BCM，所以∠ABO＝∠BCM，
则∠BMH＋∠ABO＝∠BMH＋∠BCM＝90°，
所以OB⊥CM，则有SH⊥CM，
所以∠SHO是二面角S－CM－D的平面角，
设 ，则 ， ， ，
， ，
则cos∠SHO＝ ，所以二面角S－CM－D的余弦值为 ． 12分
19.（本小题满分12分）
解析：(Ⅰ)设数列 的公差为d，数列 的公比为q，则
由 得 解得
所以 ， ． 4分
(Ⅱ)由 ， 得 ， 5分
则 即 6分
9分
． 12分
20.（本小题满分13分）
解析：(Ⅰ)由题 解得 ， ．
所以椭圆Ω的方程为 ． 4分
(Ⅱ)由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于 轴，故可设AM所在直线的方程为 ，不妨设 ，则直线AM所在的方程为 ． 5分
联立方程 消去 整理得 ，解得 ， 6分
将 代入 可得 ，故点 .
所以 ． 8分
同理可得 ，由 ，得 ， 10分
所以 ，则 ，解得 或 ． 12分
当AM斜率 时，AN斜率 ；当AM斜率 时，AN斜率 ；当AM斜率 时，AN斜率 ．
综上所述，符合条件的三角形有 个. 13分
21.（本小题满分14分）
解析：(Ⅰ) 当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ．
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值 ，函数 无极大值． 4分
(Ⅱ)由 ， ，
若 ，则 ，函数 单调递增，当x趋近于负无穷大时， 趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时， 趋近于正无穷大，故函数 存在唯一零点 ，当 时， ；当 时， ．故 不满足条件． 6分
若 ， 恒成立，满足条件． 7分
若 ，由 ，得 ，当 时， ；当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 在 处取得极小值 ，由 得 ，解得 ．
综上，满足 恒成立时实数a的取值范围是 ． 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当 时， 恒成立，所以 恒成立，
即 ，所以 ，令 ( )，得 ， 10分
则有 ，
12分
所以 ，
所以 ，
即 ．
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