惠州市2015届高三第三次调研考试
数 学 试 题（理科） 2015.1
本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．若集合 ， ，则 ( )．
A. B. C. D.
2．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的函数为( )．
A. B. C. D.
3．“ ”是“ ”成立的( )条件．
A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要
4．设双曲线 的虚轴长为2，焦距为 ，则此双曲线的离心率为( )．
A. B. C. D.
5．空间中，对于平面 和共面的两直线 、 ，下列命题中为真命题的是( )．
A.若 ， ，则 B.若 ， ，则
C.若 、 与 所成的角相等，则 D.若 ， ，则
6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为( )．
A.840 B.720 C.600 D.30
7．数列 ，满足对任意的 ，均有 为定值．若 ，则数列 的前100项的和 ( )．
A.132 B.299 C.68 D.99
8．在平面直角坐标系中，定义两点 与 之间的“直角距离”为 ．给出下列命题：
(1)若 ， ，则 的最大值为 ；
(2)若 是圆 上的任意两点，则 的最大值为 ；
(3)若 ，点 为直线 上的动点，则 的最小值为 ．
其中为真命题的是( )．
A. (1) (2) (3) B. (2) C. (3) D. (2) (3)
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
高一 高二 高三
女生
男生
9．某校有 名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是 ．现用分层抽样的方法在全校抽取 名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．
10．已知 ， ， ，若 ，则实数 ______．
11．已知复数 ( )，若 ，则实数 的值为__________．
12．已知 ，使不等式 恒成立，则实数 的取值范围是__________．
13． 是平面内不共线的三点，点 在该平面内且有 ，现将一粒黄豆随机撒在△ 内，则这粒黄豆落在△ 内的概率为__________．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线 的参数方程为 （ 为参数），圆 的参数方程为 （ 为参数）．若直线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围是__________．
15．（几何证明选讲选做题）如图1，点 都在圆 上，过点 的切线交 的延长线于点 ，若 ， ， ，则线段 的长为__________．
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知函数 ， （其中 ），其部分图像如图2所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知横坐标分别为 、 、 的三点 都在函数 的图像上，求 的值．
17．（本小题满分12分）
惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到 个新球的概率．
参考公式：互斥事件加法公式： （事件 与事件 互斥）．
独立事件乘法公式： （事件 与事件 相互独立）．
条件概率公式： ．
18．（本小题满分14分）
三棱柱 的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正切值．
19．(本小题满分14分)
已知数列 的前 项和 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，是否存在 ，使得 、 、 成等比数列．
若存在，求出所有符合条件的 值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知抛物线 的焦点 以及椭圆 的上、下焦点及左、右顶点均在圆 上．
（1）求抛物线 和椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线交抛物线 于 两不同点，交 轴于点 ，
已知 ， ，求 的值；
（3）直线 交椭圆 于 两不同点， 在 轴的射影分别为 ， ，若点 满足 ，
证明：点 在椭圆 上．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ，过点 作曲线 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调递增区间；
（2）设 ，求函数 的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数 ，在区间 内，总存在 个数 使得不等式 成立，
求 的最大值．
惠州市2015届高三第三次调研考试
数 学 (理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B A D B B D
1．【解析】由 得 ， ；由 得 ，
。 。故选A.
2．【解析】首先 是偶函数，且在 上单减，而 ，
故 满足条件。故选C.
3．【解析】由不等式的性质知，当 时， 成立；
反之，例如取 ，显然 ，而 不成立。故选B.
4．【解析】由已知知 ，所以 ，所以 。选A.
5．【解析】当 ， 时，必有 或 与 异面直线，
而 与 是共面的两条直线，所以 。故选D.
6．【解析】分两类。第一类：甲、乙两人中恰有一人参加，方法种数为 种，第二类：甲、乙两人同时参加，方法种数为 种，根据分类计数原理，满足条件的方法种数为480+240=720种。故选B.
7．【解析】对任意的 ，均有 为定值，
，故 ，
是以3为周期的数列，故 ， ， ，
。选B.
8．【解析】对于（1）， ，
的最大值为 ，故（1）不正确。
对于（2），要使 最大，必有 两点是圆上关于原点对称的两点，可设 ，则 。故（2）正确；
对于（3），设 ，则 ，去掉绝对值后可知当 时， 取得最小值 。故（3）正确。故选D.
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9．30 10．8 11． 12． 13． 14. 15．
9．【解析】由条件有 ， ，
而抽样比例为 ，故高二抽取的学生人数为 人。
10．【解析】 ， 。
11．【解析】 ， 。
12．【解析】易知 的最小值为4， ，
故实数 的取值范围是 。
13．【解析】解析：由 ,
得 ，设 到 距离 ，如图，
则 ，
，
所以 ，所以所求概率为 .
14．【解析】因为直线 的普通方程为 ，圆C的普通方程为 ，故圆C的圆心到直线 的距离 ，解得 。
15．【解析】由切割线定理知 ，又易知 ∽ ，故 ，
故 。
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）
16.（本小题满分12分）
解：（1）由图可知， ， ……………………………………………1分
最小正周期
所以 …………………………………3分
又 ，且
所以 ， …………………5分
所以 ． ……………………6分
(2) 解法一: 因为
，
所以 ， ………………………………8分
，
从而 ， ……………………………10分
由 ，得 . ………12分
解法二: 因为
，
所以 ， ………………………………8分
, ,
,
则 . ……………10分
由 ，得 . ……12分
17.（本小题满分12分）
解：（1） 的所有可能取值为0，1，2． ……………………1分
设“第一次训练时取到 个新球（即 ）”为事件 （ 0，1，2）．
因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，
所以 ， ……………………………3分
， ……………………………5分
． …………………………7分
所以 的分布列为
0 1 2
的数学期望为 ． …………………………8分
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件 ．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 ．
而事件 、 、 互斥，
所以 ．
由条件概率公式，得
，……………………9分
，…………………10分
．…………………11分
所以 ． …………………12分
所以第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 。
18.（本小题满分14分）
解：由三视图可知，几何体为直三棱柱 — ，侧面 为边长为2的正方形，底面 是等腰直角三角形， ……………………2分
（1）直三棱柱 — 中， 平面 ， 平面 ，
， ，D为AC的中点， ，
又 面 ， 面 ，且 ，
平面 ，又 面 ， ①………..6分
又 ，
又 面 ， 面 ，且 ，
面 ， 面 ，
在正方形 中，
又 面 ， 面 ，且 ，
面 ，又 面 ， ②………………..8分
由①②，又 面 ， 面 ，且 ，
面 . …………………………………………………………9分
（2）解法一（空间向量法）以 为原点建系，易得
设平面 的法向量 由 ，
得 令 ，得 …………..12分
又平面 的法向量 设二面角 的平面角为 ，
所以 …………..14分
解法二：所求二面角 与二面角 互余，
取 中点 ，有 ⊥平面 ，过 作 垂线，垂足为 ，
所以二面角 的平面角是 ……………11分
，
因为二面角 与二面角 互余，
所以二面角 的正切值为 ；……………..14分
解法三（补形）如图补成正方体，易得 为二面角的平面角，
……………..14分
19．（本小题满分14分）
（1）解法1：当 时， ，……………2分
即 ．…………………………………………4分
所以数列 是首项为 的常数列．……………………5分
所以 ，即 ．
所以数列 的通项公式为 ．…………………7分
解法2：当 时， ， ………………………2分
即 ． …………………………………………………4分
．…5分
因为 ，符合 的表达式． ……………………………………………6分
所以数列 的通项公式为 ． …………………………7分
（2）假设存在 ，使得 、 、 成等比数列，
则 ．……………………………………………………………………8分
因为 ，
所以 ……11分
． …………………13分
这与 矛盾．
故不存在 ，使得 、 、 成等比数列．…………14分
20．（本小题满分14分）
解：（1）由抛物线 的焦点 在圆 上得：
， ，…………………………………………………………..1分
∴抛物线 …………..…………………………………………….2分
同理由椭圆上、下焦点 及左、右顶点 均在圆 上可解得： ． …………4分
得椭圆 ．…………………………………………………..5分
（2）设直线 的方程为 ，则 ．
联立方程组 ，消去 得： ……….6分
且 …………………………………..7分
由 得：
整理得： ……………………………..…8分
．…………………..9分
（3）设 ，则
由 得 …………① …….10分
……………………② …………………………………….11分
……………………③ ……………………………………12分
由①+②+③得 …………….……...13分
∴ 满足椭圆 的方程，命题得证．……………....14分
21. （本小题满分14分）
【解】（1）当 时， --------1分
解得 .------------------------------------------2分
因为
所以函数 有单调递增区间为 --------------3分
（2）设 ， 两点的横坐标分别为 、 ，
所以切线 的方程为： ---------------4分
所以切线 过点 ，所以有
即 ……①
同理，由切线 过点 ，，得 …… ②---------------5分
由（1）、（2），可得 的两根，
…… ③ -------------------------------------------------------------7分
-------------------------------------------8分
把③式代入，得
因此，函数 的表达式为 ----------------9分
（3）易知 在区间 上为增函数，
则
恒成立，
所以不等式 恒成立，
即 恒成立，--------------------------------12分
，由于 为正整数， . --------------------------------------13 分
又当 ，存在 任意的正整数 满足条件
因此， 的最大值为6. --------------------------------------------------------14分
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