丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习 2015.01
高三数学（理科）
第一部分 （选择题 共40分）
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合 ， ，那么
(A)
(B)
(C)
(D)
2．已知向量 ， ，则“ 且 ”是“ ”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3．高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是
(A) 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同
(B) 两组同学的样本平均数一定相等
(C) 两组同学的样本标准差一定相等
(D) 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同
4．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边， ， ， ，那么a等于
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 1或4
5．已知函数 （b>0且b≠1）的图象如图所示，那么函数
的图象可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
6．2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有
(A) 种
(B) 种
(C) 种
(D) 种
7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是
(A) {1，3} (B) {0，1，3} (C) {0，1，3，4} (D) {0，1，2，3，4}
第二部分 （非选择题 共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在复平面内，复数 ， 对应的点分别是A，B（如图所示），则复数 的值是 ．
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于 ．
11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．
12．若变量x，y满足条件 且 的最大值是10，则k的值是 ．
13．过点 作圆O： 的切线，切点为 ，如果 ，那么切线的斜率是 ；如果 ，那么 的取值范围是 ．
14．设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，对于任意 ，都有 ，则称函数 是“似周期函数”，非零常数 为函数 的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数” 的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数 是“似周期函数”；
③函数 是“似周期函数”；
④如果函数 是“似周期函数”，那么“ ”．
其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值及相应的x的值．
16. （本小题共13分）
某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为 ， ， ， ， ．
（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；
（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；
（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为 ，求 的分布列及数学期望．
（注：频率可以视为相应的概率）
17. （本小题共14分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2， ．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为 ，求 的值．
18.（本小题共13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的极小值；
（Ⅱ）如果直线 与函数 的图象无交点，求 的取值范围．
19.（本小题共14分）
已知椭圆 ： 的右焦点 ，点 在椭圆 上．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点，过原点 作直线 的垂线，垂足为 ，如果△ 的面积为 （ 为实数），求 的值．
20.（本小题共13分）
已知数列 满足 ， ， ， 且 ．
（Ⅰ）求证：当 时，数列 为等比数列；
（Ⅱ）如果 ，求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）如果 表示不超过 的最大整数，当 时，求数列 的通项公式．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015.01
高三数学（理科）答案及评分参考
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C B B A D
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9． 10．15 11．20
12．5 13． ； 14． ①③④
注：第13题第一个空2分；第二个空3分。
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15. 解：（Ⅰ）
． …………………7 分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ．
所以 当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ． …………………13分
所以当 时，函数有最大值是 ；当 时，函数有最小值是 ．
16. 解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
． ………………2分
（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．
答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ……………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为 ，
X可能的取值是0，1，2，3．
；
；
；
．
的分布列为：
0 1 2 3
……………12分
所以 ． ……………13分
（或 ，所以 ．）
17. 证明：（Ⅰ）连结AC．
因为在△ABC中，
AB= AC=2， ，
所以 ，
所以 ．
因为 ∥ ，
所以 ．
又因为 底面 ，
所以 ．
因为 ，
所以 CD⊥平面PAC． ………………4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
因为 M是棱PD的中点，
所以 ．
所以 ， ．
设 为平面MAB的法向量，
所以 ，
即 ，
令 ，则 ，
所以平面MAB的法向量 ．
因为 PA⊥平面ABCD，
所以 是平面ABC的一个法向量．
所以 ．
因为二面角M-AB-C 为锐二面角，
所以二面角M-AB-C的大小为 ． ………………10分
（Ⅲ）因为N是在棱AB上一点，所以设 ， ．
设直线CN与平面MAB所成角为 ，
因为平面MAB的法向量 ，
所以
．
解得 ，即 ， ，所以 ． ………………14分
18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R． 因为 ，
所以 ．
令 ，则 ．
0
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以 当 时函数有极小值 ． ………………6分
（Ⅱ）函数 ．
当 时 ， ，
所以要使 与 无交点，等价于 恒成立．
令 ，即 ，
所以 ．
①当 时， ，满足 与 无交点；
②当 时， ，
而 ， ，
所以 ，此时不满足 与 无交点．
③当 时，令 ， 则 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ．
由 得 ，
即 与 无交点．
综上所述 当 时， 与 无交点． ……………13分
19. 解：（Ⅰ）由题意知： ．
根据椭圆的定义得： ，
即 ．
所以 ．
所以椭圆 的标准方程为 ． ……………4分
（Ⅱ）由题意知，△ABC的面积 ，
整理得 ．
① 当直线 的斜率不存在时， 的方程是 ．
此时 ， ，所以 ．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
设 ， ．
由 可得 ．
显然 ，则
因为 ， ，
所以
．
所以 ，
此时， ．
综上所述， 为定值 ． ……………14分
20. 解：（Ⅰ）当 时，设 ，
则 当 时， ．
因为 ，
所以 为常数．
因为 ，
所以 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列． ……………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 时 为首项为 ，公比为 的是等比数列，
所以 ． ．
设 ，
则 ．
相减得 ．
设 ，
．
即 ． ……………9分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知 ．
设 ，
由二项式定理可知 为整数，
所以 ．
所以 ． ……………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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