绝密★启用前 试卷类型：A
2014---2015年汕头市高三年级期末调研考试
数学（理科） 2014.12.26
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
① 均值定理：若 ，则 ，当且仅当 取等号。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．设集合 ，若 （ 为自然对数底），则( )
A． B. C. D.
2. 我们把复数 叫做复数 的共轭复数，记作 , 若 是
虚数单位， ， 为复数 的共轭复数，则 ( )
A． B． C． D．
3. 已知等差数列 的公差为 ,若 成等比数列, 则 ( )
A． B C D
4 下列函数中，在区间 上为增函数的是( )
A． B． C． D．
5. 给出下列命题，其中错误命题的个数为( )
（1）直线a与平面 不平行，则a与平面 内的所有直线都不平行；
（2）直线a与平面 不垂直，则a与平面 内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面
A． 1 B 2 C 3 D 4
6 如下图所示,程序执行后的输出结果为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )
A．140种 B. 120种 C. 35种 D. 34种
8.设集合 ，在 上定义运算“ ”为： ，其中 为 被4除的余数， ．则满足关系式 的 的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．）
（一）必做题（9-13题）
9. 计算 .
10. 不等式 的解集是______________.
11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率
分布直方图所示.在这些用户中,用电量落在区间 内的户数为_____________.
12.若变量 满足约束条件 ，则 的最大值和最小值之和等于
13.下列关于向量 的命题中，正确的有 。
（1） （2） （3）
(4) (5) 若 ,则 中至少一个为
（6）若 ， ，则 (7) 若 ， ，则
(8)若 与 共线，则存在一个实数 ，使得 成立
（9）与向量 平行的单位向量有两个
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 ， ， ，则圆 的圆心的极坐标为___________.
15.（几何证明选做题）如图，过点 作△ 的外接圆 的
切线交 的延长线于点 .若 ， ，则
___________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)已知函数 ， .
（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在 的图像。
（2）若 为锐角，且满足 ，求 的值。
17、(本小题满分12分)盒中有大小相同的编号为1,2,3,4,5,6的6只小球，规定：从盒中一次摸出两只球，如果这两只球的编号均能被3整除，则获得一等奖，奖金10元，如果这两只球的编号均为偶数，则获得二等奖，奖金2元，其他情况均不获奖。
（1）若某人参加摸球游戏一次获奖金 元，求 的分布列与期望；
（2）若某人摸一次且获奖，求他获得一等奖的概率。
18、(本小题满分14分)如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， , , 是 的中点， 为 上一点。
（1）求证： 平面
(2)当 为何值时，二面角 为 .
19、(本小题满分14分)已知函数 ， 与 关于点 对称。
（1）求 的解析式，并求出 的单调区间；
（2）若 ， ，求证：
20.（本小题满分14分）已知数列 的通项公式是 ，数列 是等差数列，令集合 ， ， ．将集合 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为 .
（1）若 ， ，求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项成等比数列，且 ， ，求满足 的正整数 的取值集合.
21、（本小题满分14分）已知函数 ，
（1）求函数 的定义域 （用区间表示），
（2）当 时，求函数 的单调递增区间。
汕头市2015年普通高中毕业班监测(理科)答案
一、选择题：
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、
解析：
3、B
8、B解析：设 ，则 等价于 被4除的余0，等价于 是奇数.故 可取 .
二、填空题：
9、24 10、 11、70 12、6 13、（4）
14、 15、
三、解答题
16、解：（1）(1)列表 （2）描点 （3）连线
0
0 2 0 -2 0
……………….3分
………………6分
（2）由题意可知道： ， ………………7分
所以： ……….. .8分
所以 ，即 ……………………………9分
因为 ，所以 ……………………………10分
所以 或 ……………………………….11分
所以 或 ……………………………….12分
17. 解(1): 的可能值为0、2、10. ……………….1分
……………….2分
……………….3分
……………….4分
的分布列为
0 2 10
……………….6分
. ……………….8分
（2）设摸一次得一等奖的事件为A，摸一次得二等奖的事件为B.
则 ……………….9分
某人摸一次且获奖为事件A+B，有因为A,B互斥，所以
……………….10分
……………….12分
18、证明：(1) …….1分
…….2分
…………..3分
…………..4分
…………..5分
. …………..6分
(2)如图以A为原点，分别以AD,AB,AP为 轴建系 . …………..7分
设BE= ，则 ， ， ， . …………..8分
，则
. …………..10分
. …………..11分
. …………..12分
. ………..13分
. …………..14分
19、（1）设 是 图像上任意一点，则 在 的图像上. ……2分
…………..4分
…………..5分
…………..6分
…………..7分
（2） …………..8分
………10分
………….11分
………….14分
20、解：（1）若 ，因为 、 、 ，所以 、 、 ，
由此可见，等差数列 的公差为 ，而 是数列 中的项，
所以 只可能是数列 中的第 、 、 项. …………..2分
①若 ，则 ； …………..3分
②若 ，则 ； …………..4分
③若 ，则 . …………..5分
（2）首先对元素 进行分类讨论：
①若 是数列 的第 项，由 的前 项成等比数列，得 ，
这显然不可能； …………..6分
②若 是数列 的第 项，由 的前 项成等比数列，得 ，因为数列 是将集合 中的元素按从小到大的顺序排列构成的，所以 ，则 ，因此数列 的前 项分别为 、 、 、 、4，这样 ，则数列 的前 项分别为 、 、 、 、 、 、 、 、 ，上述数列符合要求. …………..8分
③若 是数列 的第 项（ ），则 ，即数列 的公差 ，所以 ，而 、 、 ，所以 、 、 在数列 的前 项中，由于 ，这样， 、 、…、 以及 、 、 共 项，它们均小于 ，即数列 的前 项均小于 ，这与 矛盾. …………..10分
综上所述， . …………..11分
其次，当 时， ， ， . ………..12分
当 时， ，因为 是公差为 的等差数列，所以 .….13分
所以 ，此时的 不符合要求，所以符合要求的 一共有 个. …………..14分
21、解：（Ⅰ）由题意可知：
令 ，则原不等式可以化为： ，解得： 或
即原不等式可以化为不等式① 或 不等式② ……1分
对于不等式①、②分别有: 与
现做如下分类讨论：
（1） 当 时， ， ，此时不等式①、②对应的方程分别有不等根：
与 ；
与 ；不难证明：
所以不等式①的解集为 …………2分
所以不等式②的解集为 …..3分
所以当 时，函数 的定义域
………….4分
（2）当 时， ， ，结合（1）可知：不等式①的解集为 分
…………..5分
不等式②的解集为
所以当 时，函数 的定义域
…………..6分
（3）当 时， ， ，结合（1）可知：
不等式①的解集为 ；不等式②的解集为
所以当 时，函数 的定义域 …………..7分
综上所述：
（1）当 时，函数 的定义域
（2）当 时，函数 的定义域
（3）当 时，函数 的定义域 …………..8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道：当 时，函数 的定义域
………….9分
令 （ ）,
则函数 ，显然函数 在对应的定义域区间为单调递增函数，要求 的单调递增区间，我们只需要求出函数 在 上的单调递增区间。…………10分
现在求解如下：当 时，
由 可得：
不等式组 或不等式组 ………….11分
对于方程 有： ，当 时，显然有 ，
此时方程 有两个不相等的实数根：
或 ；显然 ，
所以不等式组（1）的解集为
不等式组（2）的解集为 ………….12分
结合（Ⅰ），不难得到： ，又因为
所以在 上有
不等式组（1）的解集为
不等式组（2）的解集为 ………….13分
所以函数 的单调递增区间为 与
………….14
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