丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习 2015.01
高三数学（文科）
第一部分（选择题 共40分）
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在复平面内，复数 对应的点的坐标是
(A) (-1,1) (B) (-1, -1) (C) (1, -1) (D) (1,1)
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1=2，a3+ a5=22，那么S3等于
(A) 8 (B) 15 (C) 24 (D) 30
3．命题p： x>0， ，则 是
(A) ，
(B) ，
(C) ，
(D) ，
4．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是
(A) a > b > c (B) c > b > a (C) c > a >b (D) a>c>b
5．甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设 ， 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数， ， 分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有
(A) ，
(B) ，
(C) ，
(D) ，
6．已知函数 （b>0且b≠1）的图象如图所示，那么函数 的图象可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
7．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是
(A)
(B)
(C)
(D)
8．在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是
(A) {1，2} (B) {1，2，3} (C) {0，1，2} (D) {0，1，2，3}
第二部分（非选择题 共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知集合 ， ，则 ．
10．已知向量 ，且 ， ，那么实数x= ； ．
11．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是___．
12．如果变量x，y满足条件 且 ，那么z的取值范围是___．
13．已知圆C： ，那么圆心坐标是 ；如果圆C的弦AB的中
点坐标是(-2，3)，那么弦AB所在的直线方程是___．
14．设函数 与 是定义在同一区间 上的两个函数，如果函数 在区间 上有 个不同的零点，那么称函数 和 在区间 上为“ 阶关联函数”．现有如下三组函数：
① ， ；
② ， ； ③ ， ．
其中在区间 上是“ 阶关联函数”的函数组的序号是___．（写出所有满足条件的函数组的序号）
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最大值和最小值，及相应的x的值．
16.（本小题共13分）
某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；
（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60,70)内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；
（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内 (只需写出结论) ．
（注：将频率视为相应的概率）
17.（本小题共14分）
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，平面SAD⊥平面ABCD，SA=SD，E，P，Q分别是棱AD，SC，AB的中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面SAD；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面SEQ；
（Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S-ABC的体积．
18.（本小题共13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的极小值；
（Ⅱ）过点 能否存在曲线 的切线，请说明理由．
19.（本小题共14分）
在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）直线 过点 ，过 作 的平行线交椭圆 于P，Q两点，如果以PQ为直径的圆与直线 相切，求 的方程．
20.（本小题共13分）
已知数列 的前 项和 满足 ， ， ．
（Ⅰ）如果 ，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）如果 ，求证：数列 为等比数列，并求 ；
（Ⅲ）如果数列 为递增数列，求 的取值范围．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
丰台区2014—2015学年度第一学期期末练习2015．01
高三数学（文科）答案及评分参考
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D B C A C
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．{3，4} 10．2； 11．4
12． 13． ； 14．①③
注：第10，13题第一个空2分；第二个空3分。
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. 解：（Ⅰ）
．
所以 ． …………………7分
（另解）
． …………………2分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ．
所以 当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ． …………………13分
所以当 时， ；当 时， ．
16. 解：（Ⅰ）
估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为1-0.15=0.85 …………………3分
（Ⅱ）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：AB，AC ，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN．代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为： AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN．
设“学生代表M，N至少有一人被选中”为事件D，
． …………………11分
答：学生代表M，N至少有一人被选中的概率为 ．
（Ⅲ）样本的中位数落在分组区间[70,80)内． …………………13分
17. （Ⅰ）证明：取SD中点F，连结AF，PF．
因为 P，F分别是棱SC，SD的中点，
所以 FP∥CD，且FP= CD．
又因为菱形ABCD中，Q是AB的中点，
所以 AQ∥CD，且AQ = CD．
所以 FP//AQ且FP=AQ．
所以 AQPF为平行四边形．
所以 PQ//AF．
又因为 平面 ，
平面 ，
所以 PQ//平面SAD ． …………………5分
（Ⅱ）证明：连结BD，
因为 △SAD中SA=SD，点E棱AD的中点，
所以 SE⊥AD．
又 平面SAD⊥平面ABCD，
平面SAD 平面ABCD=AD，
SE 平面 ，
所以 SE⊥平面ABCD，
所以SE⊥AC．
因为 底面ABCD为菱形，
E，Q分别是棱AD，AB的中点，
所以 BD⊥AC，EQ∥BD．
所以 EQ⊥AC，
因为 SE EQ=E，
所以 AC⊥平面SEQ． …………………11分
（Ⅲ）解：因为菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2，
所以 = = ．
因为SA=AD=SD=2，E是AD的中点，所以SE= ．
由（Ⅱ）可知SE⊥平面ABC，
所以三棱锥S-ABC的体积 = ． …………………14分
18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R．
因为 ，
所以 ．
令 ，则 ．
0
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以 ． …………………6分
（Ⅱ）假设存在切线，设切点坐标为 ，
则切线方程为
即
将 代入得 ．
方程 有解，等价于过点 作曲线 的切线存在．
令 ， 所以 ．
当 时， ．
所以 当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减．
所以 当 时， ，无最小值．
当 时，方程 有解；
当 时，方程 无解．
综上所述，当 时存在切线；当 时不存在切线． ………………13分
19. 解：（Ⅰ）依题意，椭圆的焦点在x轴上，
因为 ， ，
所以 ， ．
所以 椭圆的方程为 ． …………………4分
（Ⅱ）依题意，直线 的斜率显然存在且不为0，设 的斜率为 ，
则可设直线 的方程为 ，
则原点 到直线 的距离为 ．
设 ， ，
则 消y 得 ．
可得 ， ．
因为 以 为直径的圆与直线 相切，
所以 ，即 ．
所以 ，
解得 ．
所以直线 的方程为 或 ． …………………14分
20. 解：（Ⅰ） 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ． …………………3分
（Ⅱ）证明：当 时， ，
，
相减得 ．
所以 ，
又因为 ， ，
所以数列 为等比数列，
所以 ， ． …………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，显然
当 时，则 ，得 ．
当 时， ，
，
相减得 ，
即 ．
因为 ，所以 ．
所以 为等比数列．
所以 ．
因为数列 为递增数列，
所以 或 ，
所以 的取值范围是 或 ． ……………………13分
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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