2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试
数 学（文史类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．
一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集 ,集合 ，则
(A) (B) (C) (D)
2．抛物线 的焦点坐标是
(A) (0,1) (B) (0，-1) (C) (-1,0) (D) (1,0)
3. 函数 的图象
(A) 关于 轴对称 (B) 关于 轴对称
(C) 关于原点对称 (D) 关于直线 对称
4.给出下列三个命题：
①命题 ： ,使得 ， 则 ： ，使得
② 是“ ”的充要条件.
③若 为真命题，则 为真命题.
其中正确命题的个数为
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
5.执行如图所示的程序框图，输出的 值是
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16
6.已知 则 的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
7.已知单位向量 和 的夹角为 ,记 , , 则向量 与 的夹角为
(A) (B) (C) (D)
8.一个三棱柱的侧视图、俯视图如图所示，则三棱柱的表面积是
(A)
(B)
(C)
(D)
9.在平面直角坐标系中，椭圆 的焦距为 ，以 为圆心， 为半径作圆，
过点 作圆的两条切线互相垂直，则离心率 为
(A) (B) (C) (D)
10.设函数 ，若存在唯一的 ，满足 ，则正实数 的最小值是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知 是虚数单位，则 ▲.
12.函数 的图像在点 处的切线方程为▲.
13.在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足 ，则角B的大小为▲.
14.如图是一容量为 的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为▲.
15.对于函数 ，有下列4个结论：
①任取 ，都有 恒成立；
② ，对于一切 恒成立；
③函数 有3个零点；
④对任意 ，不等式 恒成立．
则其中所有正确结论的序号是▲.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.
16.（本题满分12分）
已知函数 ，且周期为 .
（I）求 的值；
（II）当 [ ]时，求 的最大值及取得最大值时 的值.
17.（本题满分12分）
某校从高中部年满16周岁的学生中随机抽取来自高二和高三学生各10名，测量他们的身高，数据如下（单位：cm）
高二：166,158,170,169,180,171,176,175,162,163
高三：157,183,166,179,173,169,163,171,175,178
（I）若将样本频率视为总体的概率，从样本中来自高二且身高不低于170的学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于175的概率；
（II）根据抽测结果补充完整下列茎叶图，并根据茎叶图对来自高二和高三学生的身高作比较，写出两个统计结论.
18.（本题满分12分）
如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O, G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC 平面ABC.
（I）求证: //平面 ；
（II）若AB=2，BC=1， ,试求该几何体的V.
19.（本题满分12分）
已知数列 是等差数列，首项 ，公差为 ，且 成等比数列.
（I）求数列 的通项公式；
（II）令 ，求数列 的前 项和 .
20．（本题满分13分）
已知函数 在 处取得极值 .
（I）求实数 的值；
（Ⅱ）若关于 的方程 在区间 上恰有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.
21.（本题满分14分）
已知焦点在 轴上的椭圆 ，焦距为 ，长轴长为 .
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于 两点.
(i) 证明：点 到直线 的距离为定值，并求出这个定值；
（ii）求 .
高中2012级一诊测试
数学(文史类)参考答案
说明：
一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C C D C A A B
二、填空题
11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 14. 12 15. ①③④
三、解答题
16.解：(1)∵ .....（2分）
= ..................................................................（4分）
∵ 且 ， 故 ......................................................................（6分）
(2):由(1)知
∵ ∴ ................................................................................（7分）
∴ .
∴ .......................................................................................（9分）
∴当 时，即 ， 取得最大值为 ............................................（12分）
17.解：（Ⅰ）高二学生身高不低于170的有170，180，175，171，176有5人，从中抽取3个共有10种抽法；“恰有两名同学的身高低于175”的情况有3种…………………（3分）
故P（“恰有两名同学的身高低于175”）= ……………… （6分）
（Ⅱ）茎叶图：
高二 高三
0 18 3
6 5 1 0 17 1 3 5 8 9
9 6 3 2 16 3 6 9
8 15 7
…………………………………（9分）
统计结论：（考生只要答对其中两个即给3分，给出其他合理答案可酌情给分）
①高三学生的平均身高大于高二学生的平均身高；
②高二学生的身高比高三学生的身高更整齐；
③高二学生的身高的中位数为169.5cm，高三学生的身高的中位数为172cm；
④高二学生的身高基本上是对称的，且大体上集中在均值附近，高三学生的身高的高度较为分散； ……………………………………（12分）
18. (1)证明：连结GO,OH
∵GO//AD,OH//AC...................................................................................................................（2分）
∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO交HO于O................................................................（4分）
∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分）
∴GH//平面ACD..........................................................................................................（6分）
(2)法一：∵ ..............................................................................................（8分）
∵AB=2,BC=1.
∵
∴ .
.
.........................................................（11分）
∴ .............................................................................（12分）
法二：∵DC 平面ABC ∴DC AC
又∵AC BC ∴AC 平面BCDE.......................................................（8分）
∵AB=2,BC=1. ∵ ∴ ........（10分）
∴ ................................................（12分）
19．（Ⅰ） ，设公差为 ，则由 成等比数列，
得 ， ...................................... （2分 ）
解得 （舍去）或 ， .................................... （4分）
所以数列 的通项公式为 .............................. （6分）
（Ⅱ） ，
-得 ------（9分）
......................... （12分 ）
20.解：（Ⅰ）由题设可知 ………………………………（1分）
当 时， 取得极值0
解得 ………………………………………（4分）
经检验 符合题意 ………………………………………（5分）
（Ⅱ）由（1）知 ，
则方程 即为
令
则方程 在区间 恰有两个不同实数根.
………………………………（8分）
当 时， ，于是 在 上单调递减；
当 时， ，于是 在 上单调递增；…………………（10分）
依题意有
21.（Ⅰ） 解 ........................ （2分 ）
所以椭圆的标准方程为 . .................. （4分）
（Ⅱ）（ⅰ）设 ,
① 当直线AB的斜率不存在时，则 为等腰直角三角形，不妨设直线OA：
将 代入 ，解得
所以点O到直线AB的距离为 ； .................. （6分 ）
② 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 ，代入椭圆
联立消去 得：
， ..................（ 7分）
因为 ，所以 ，
即
所以 ，整理得 ，
所以点O到直线AB的距离
综上可知点O到直线AB的距离为定值 .............（10分）
（ⅱ）在Rt 中，因为
又因为 ≤ ，所以 ≥
所以 ≥ ，当 时取等号，即 的最小值是 ………（14分）
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