高三年级考试
数 学 试 题
2015.1
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1.集合 等于
A. B.
C. D.
2.已知 ，则“ ”是“ ”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.正项等比数列 的公比为2，若 ，则 的值是
A.8 B.16
C.32 D.64
4.已知命题 ：命题 .则下列判断正确的是
A.p是假命题 B.q是真命题
C. 是真命题 D. 是真 命题
5.已知 为不同的直线 ， 为不同的平面，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
6.若变量 满足条件 ，则 的取值范围为
A. B. C. D.
7.下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上单调性也相同的是
A . B.
C. D.
8.设函数 的最小正周期为 ，将 的图象向左平移 个单位得函数 的图象，则
A. 上单调递减 B. 上单调递减
C. 上单调递增 D. 上单调递增
9.设函数 的零点为 的零点为 ，若 可以是
A. B.
C. D.
10.定义在R上的函数 满足： 的导函数，则不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集 为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置.
11.已知向量 共线，则t= ▲ .
12. 设 为锐角，若 ▲ .
13.若 ，则 = ▲ .
14.已知直线 及直线 截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是 ▲ .
15.棱长为4的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 ▲ .
三、解答题：（本大题共6个小题，满分75 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.）
16.（本小题满分12分）
在 中，角A、B、C所对的边分别为 ，且
（I）求角C的大小；
（II）若 ， 的面积 ，求a、c的值.
17.（本小题满分12分）
如图所示，在直三棱柱 中， 为AB的中点，且
（I） 求证： ；
（II）求二面角 的平面的正弦值.
18.（ 本小题满分 12分）
若数列 的前n项和为 ，且满足：
.
（I）若数列 是等差数列，求 的通项公式.
（II）若 ，求 .
19.（本小题满分12分）
某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资 （单位：万元）满足： （ 为常数），且曲线 与直线 在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.
（I）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；
（II）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公 司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据： ）
20.（本小题满分13分）
已知椭圆 的两个焦点为 ，离心率为 ，直线l与椭圆相交于A、B两点，且满足 O为坐标原点.
（I）求椭圆的方程;
（II）求 的最值.
21.（本小题满分14分）
设函数 .
（I）当 时，求 的极值；
（II）设A、B是曲线 上的两个不同点，且曲线在A、B两点处的切线均与 轴平行，直线AB的斜率为 ，是否存在 ，使得 若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由.
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