淮北市2015届高三第一次模拟考试
数学试题 （理科） 2015.1.24
考生注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。
2. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。
3．考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。
第I卷 (选择题 共50分)
一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分）
1.已知 为虚数单位，且 ，则 的值为（ ）。
A．4 B． C． D．
2.已知 ，则 是 的（ ）。
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（ ）
A. B. C. 1 D.
4. 等差数列 有两项 和 ，满足 ，则该数列前 项之和为 ( )
A. B C D
5.下列命题正确的是（ ）
A.函数 在区间 内单调递增
B.函数 的最小正周期为
C.函数 的图像是关于点 成中心对称的图形
D.函数 的图像是关于直线 成轴对称的图形
6.已知实数x，y满足 设 ，若 的最大值为6，则 的最小值为（ ）
A．—3 B．—2 C．—1 D．0
7. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ）
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
8. 若函数 的导函数是 ，则函数 (0<a<1)的单调递减区间是( )
A、 ， B、 C、 D、
9. 若对任意 ，不等式 恒成立，则一定有（ ）
A． B． C． D．
10.已知 的外接圆的圆心为 ,满足： , ，且 ， ,则 ( )
A. 36 B. 24 C. 24 D.
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值
为
12. 在 的二项展开式中， 的系数为
13．已知 ，则有 ，且当 时等号成立，利用此结论，可求函数 ， 的最小值为
14. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是 。
15. 称离心率为 的双曲线 为黄金双曲线．如图是双曲线
的图象，给出以下几个说法：
①双曲线 是黄金双曲线；
②若 ，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），
B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双
曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为
三、解答题（共75分，请写出详细解答过程）
16. （本题满分12分） 已知函数 =sin（2x+ ）+ cos 2x．
（1）求函数 的单调递增区间。
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）= ，a=2，B= ，求△ABC的面积．
17.（本题满分12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.
(1)求证：平面MOE∥平面PAC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；
(3)设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．
18. （本题满分12分）
近年来空气污染是一个生活中重要的话题， PM2．5就是其中一个指标。PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．
淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．
（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；
（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求 的分布列及期望．
19. （本题满分12分）已知椭圆C： (a>b>0)的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P(43，b3)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在 轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
20. （本题满分13分）
已知数列 满足 .
（1）若 ，求证：数列 是等比数列并求其通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求证： + +…+ .
21. （本题满分14分）已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若 ，使 成立，求实数a的取值范围.
答案：
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C C A C B B A
二、填空题：
11、4 12、 13、 14、 15、①②③④
三、解答题：
16、（1）解：
=
= =
= …………………………3分
令
，
的单调递增区间为： …………………………6分
（2）由 ，
又
因此 ，解得： …………………………8分
由正弦定理 ，得 ，
又由 可得： …………………………10分
故 …………………………12分
17. (1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，
所以OE∥PA.
因为PA 平面PAC，OE⊄平面PAC，
所以OE∥平面PAC.
因为OM∥AC，
又AC 平面PAC，OM⊄平面PAC，
所以OM∥平面PAC.
因为OE 平面MOE，OM 平面MOE，OE∩OM＝O，
所以平面MOE∥平面PAC. …………………………4分
(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上，
所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为AC 平面PAC，PA 平面PAC，PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC.
因为BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC. …………………………9分
(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz.
因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，
所以CB＝2cos30°＝3，AC＝1.
延长MO交CB于点D.
因为OM∥AC，
所以MD⊥CB，MD＝1＋12＝32，CD＝12CB＝32.
所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，3，0)，M(32，32，0)．
所以CP→＝(1,0,2)，CB→＝(0，3，0)．
设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)．
因为m•CP→＝0，m•CB→＝0. 即
令z＝1，则x＝－2，y＝0.
所以m＝(－2,0,1)．
同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，3，1)．
所以cos〈m，n〉＝m•n|m|•|n|＝－15.所以cosθ＝15. …………………………12分
18. 解：(1)记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A
………………………………3分
(2)记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”
为事件B， ………………………………7分
(3) 的可能值为0,1,2,3
………………10分
其分布列为：
0 1 2 3
P
………………12分
19. 解：(1)因为椭圆过点P(43，b3),所以169a2+19=1,解得a2=2,
又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2F2P,即bcb343c=1, b2=c(43c).……6分
而b2=a2c2=2c2,所以c22c+1=0,解得c2=1,
故椭圆C的方程是x22+y2=1. ………………………4分
(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得
(1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以
△=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，
即 1+2k2=p2. …………………………………7分
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则
|ks+p|k2+1 |kt+p|k2+1=|k2st+kp(s+t)+p2|k2+1=1,
即(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).
由(*)恒成立,得st+1=0，s+t=0.解得s=1t=1,或s=1t=1,
而(**)不恒成立. …………………………10分
②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2时，
定点(－1，0)、F2(1，0)到直线l的距离之积d1 d2=(2－1)(2+1)=1.
综上,存在两个定点(1,0),(1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. ……………12分
20. 解：（1）
又
所以 是首项为 ，公比为4的等比数列，且 ……………5分
（2）由（Ⅰ）可知 ，……………………7分
………………8分
所以 ，或 ………………9分
（3） ∴
…………………………………11分
当n＝2k时，
当n＝2k－1时，
< <3
∴1 a1 ＋1 a2 ＋…＋1 an ＜3．…………13分
21. 解：由已知函数 的定义域均为 ,且 . ……1分
（1）函数 ,
当 且 时, ;当 时, .
所以函数 的单调减区间是 ,增区间是 . ………………4分
（2）因f(x)在 上为减函数，故 在 上恒成立．
所以当 时， ．
又 ，
故当 ，即 时， ．
所以 于是 ，故a的最小值为 ． ………………………………7分
（3）命题“若 使 成立”等价于
“当 时，有 ”．
由（Ⅱ），当 时， ， ．
问题等价于：“当 时，有 ”． ………………………………9分
当 时，由（Ⅱ）， 在 上为减函数，
则 = ，故 ．
当 时，由于 在 上为增函数，
故 的值域为 ，即 ．
(i)若 ，即 ， 在 恒成立，故 在 上为增函数，
于是， = ，不合题意． ……………………11分
(ii)若 ，即 ，由 的单调性和值域知，
唯一 ，使 ，且满足：
当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；
所以， = ， ．
所以， ，与 矛盾，不合题意．
综上，得 ． …………………………………14分
点击下载：安徽省淮北市2015届高三第一次模拟考试数学理试题
