试卷类型：A
2015年广州市高考模拟考试
数 学（理科） 2015.1
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，按要求交回试卷和答题卡．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知i为虚数单位，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
3．设向量 ， , 若 方向相反, 则实数 的值是
A． B． C． D．
4．一算法的程序框图如图1，若输出的 ，
则输入的 的值可能为
A． B． C． D．
5. 将函数 的图象向左平移 个单位，再向上
平移 个单位，所得图象的函数解析式是
A． B．
C． D．
6. 用 , , 表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题:
① 若 , , 则 ∥ ; ② 若 ∥ , ∥ , 则 ∥ ;
③ 若 ∥ , ∥ , 则 ∥ ; ④ 若 , , 则 ∥ .
其中真命题的序号是
A．① ② B．② ③ C．① ④ D．② ④ 图1
7. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线 的右支相交于 ， 两点，且点 的横坐标为 ，则△ 的周长为
A． B． C． D．
8. 已知映射 .设点 ， ，点 是线段 上一动点， .当点 在线段 上从点 开始运动到点 结束时，点 的对应点 所经过的路线长度为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9. 不等式 的解集是 .
10. 已知数列 是等差数列，且 ，则 的值为 .
11. 在平面直角坐标系 中，设不等式组 所表示的平面区域是 ，从区域 中随
机取点 ，则 的概率是 .
12. 由 ， ， ，…， 这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝
对值等于 的四位数的个数是 .
13. 已知函数 , 则 的
值为 .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图2，圆 的直径 ，直线 与圆 相切于点 ，
于点D，若 ，设 ，则 ______．
15．（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2
在极坐标系中，设曲线 与 的交点分别为 ， ，
则线段 的垂直平分线的极坐标方程为 .
三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 R ， 是函数 的一个零点.
（1）求 的值，并求函数 的单调递增区间；
（2）若 ，且 ， ，求 的值.
17.（本小题满分12分）
广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表 ）和频
率分布直方图（如图 ）．
分组 频数 频率
表1
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求 ， 的值.
（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50
个的概率；
（3）用 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量 的分布列和数学期望．
18.（本小题满分14分）
如图 ，四边形 是正方形，△ 与△ 均是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
点 是 的中点，点 是边 上的任意一点.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的平面角的正弦值.
19.（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和 满足： ， 为常数，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： ．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．圆 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆C有且只有一个公共点 ，且 与圆 相交于 两点，
问 是否成立？请说明理由．
21.（本小题满分14分）
已知函数 ， R .
（1）讨论函数 的单调性;
（2）若函数 有两个极值点 , , 且 , 求 的取值范围;
（3）在（2）的条件下, 证明: .
2015年广州市高考模拟考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D C A D A B
二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
9. 10. 11． 12． 13．
14． 15．
三．解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（1）解：∵ 是函数 的一个零点，
∴ . …………………………………………1分
∴ . ………………………………………………2分
∴
………………………………………………3分
. ………………………………………………4分
由 ， Z ，
得 ， Z ， ………………………………………………5分
∴ 函数 的单调递增区间是 Z . …………………6分
（2）解：∵ ，
∴ .
∴ . ………………………………………………7分
∵ ，
∴ . ………………………………………………8分
∵ ，
∴ .
∴ . ………………………………………………9分
∵ ，
∴ . ……………………………………………10分
∴ …………………………………………11分
. ………………………………………………12分
17. （本小题满分12分）
（1）解： ， . …………………………2分
(2) 解：设 表示事件“日销售量高于100个”， 表示事件“日销售量不高于50个”，
表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．
， ，
. ………………………………………………………5分
(3)解：依题意， 的可能取值为 ， ， ， ，且 . ……………………6分
， ，
， ， …………10分
∴ 的分布列为
0 1 2 3
0.064 0.288 0.432 0.216
……………………………………11分
∴ . ……………………………………12分
18. （本小题满分14分）
（1）证明：∵ 是 的中点，且 ，
∴ . ……………………………………………1分
∵ △ 与△ 均是以 为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ ， .
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴ . ……………………………………2分
∵ 四边形 是正方形，
∴ . ……………………………………3分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴ . ………………………………………………………4分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 . ………………………………………………………5分
∵ 平面 ，
∴ . ………………………………………………………6分
（2）解法1：作 于 ，连接 ，
∵ ⊥平面 ， 平面
∴ . ………………………………………………………7分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 . ………………………………………………………8分
∵ 平面 ，
∴ . ……………………………………………………9分
∴∠ 为二面角 的平面角. …………………………………………………10分
设正方形 的边长为 ，则 ， ，
在Rt△ 中， ， …………………11分
在Rt△ 中， ， ，………………12分
在Rt△ 中， . ………………………………………………13分
∴ 二面角 的平面角的正弦值为 . ……………………………………14分
解法2：以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴 ，
建立空间直角坐标系 ，设 ，
则 ， ， , .……………7分
∴ ， .
设平面 的法向量为 ，
由 得 …………………8分
令 ，得 ，
∴ 为平面 的一个法向量. …………………………………………9分
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 平面 .
连接 ，则 .
∵ 平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 . ………………………………………………10分
∴ 平面 的一个法向量为 . ………………………………………………11分
设二面角 的平面角为 ，
则 . ……………………………………………12分
∴ . ………………………………………………13分
∴ 二面角 的平面角的正弦值为 . ……………………………………14分
19.（本小题满分14分）
（1）解：∵ ， ∴ . ………………………………………1分
当 时， ， ………………………………………3分
得 ， ………………………………………………4分
∴ 数列 是首项为 ，公比也为 的等比数列． ………………………………………5分
∴ . ……………………………………………6分
（2）证明：当 时， ， ………………………………………………7分
∴ . …………………………8分
由 ， ， ………………………………………………10分
∴ . …………………………………………… 11分
∴ .…………13分
∵ ，
∴ ，即 . …………………………………………………14分
20．（本小题满分14分）
（1）解：∵ 椭圆 过点 ，
∴ . …………………………………………1分
∵ ， …………………………………………2分
∴ ． …………………………………………3分
∴椭圆 的方程为 . …………………………………………4分
（2）解法1：由（1）知，圆 的方程为 ，其圆心为原点 . ………………………5分
∵直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，
∴方程组 （*） 有且只有一组解．
由（*）得 ． ……………………………………6分
从而 ,化简得 ．① …………………7分
， . ……………9分
∴ 点 的坐标为 . ……………………………………10分
由于 ，结合①式知 ，
∴ . ……………………………………11分
∴ 与 不垂直. ……………………………………12分
∴ 点 不是线段 的中点. ……………………………………13分
∴ 不成立. ……………………………………14分
解法2：由（1）知，圆 的方程为 ，其圆心为原点 . ………………………5分
∵直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，
∴方程组 （*） 有且只有一组解．
由（*）得 ． ……………………………………6分
从而 ,化简得 ．① …………………7分
， …………………………………………………8分
由于 ，结合①式知 ，
设 ,线段 的中点为 ,
由 消去 ,得 .………………………………9分
∴ . ……………………………………10分
若 ,得 ,化简得 ,矛盾. ………………………………11分
∴ 点 与点 不重合. ……………………………………12分
∴ 点 不是线段 的中点. ……………………………………13分
∴ 不成立. ……………………………………14分
21. （本小题满分14分）
(1)解: 函数 的定义域为 ,
, ………………………………………………1分
令 , 得 , 其判别式 ,
① 当 ,即 时, , , 此时, 在 上单调递增;
………………………2分
② 当 , 即 时, 方程 的两根为 , ,
………………………3分
若 , 则 , 则 时, , 时, ,
此时, 在 上单调递减, 在 上单调递增; ………………………4分
若 ,则 , 则 时, , 时, ,
时, ,
此时, 在 上单调递增, 在 上单调递减, 在 上单调递增. ……5分
综上所述, 当 时, 函数 在 上单调递减, 在 上单调递增;
当 时, 函数 在 上单调递增, 在 上单调递减, 在
上单调递增;
当 时, 函数 在 上单调递增. ………………………6分
(2) 解:由(1)可知, 函数 有两个极值点 , ,等价于方程 在 有
两不等实根, 故 . ………………………7分
(3) 证明: 由(1), (2)得 , , 且 , . ………8分
, …………………9分
令 , ,
则 , ………………………………………………10分
由于 , 则 , 故 在 上单调递减. ………………………11分
故 . ………………………………………………12分
∴ . ………………………………………………13分
∴ . ………………………………………………14分
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