2015银川市九中高三月考数学文试题及答案

银川市第九中学2015届高三上学期第四次月考
文科数学试题
1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　　)
A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
2．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24    B．0   C．12    D．24
3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是(　　)
A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
4．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3 b，则角A等于(　　)   A.π3    B.π4    C.π6    D.π12
5．已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝(　　)
A．32   B．22    C.2   D．1
6．设z＝x＋y，其中实数x，y满足x＋2y≥0，x－y≤0，0≤y≤k，若z的最大值为6，则z的最小值为(　　)  A．－3   B．－2   C．－1   D．0
7．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
　　　　　　　　　　
A．200＋9π   B．200＋18π   C．140＋9π D．140＋18π
8．已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±22x   B．y＝±2x   C．y＝±2x D．y＝±12x
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)，给出下列命题：
①当x＞0时，f(x)＝ex(1－x)；  ②函数f(x)有两个零点； 
③f(x)＞0的解集为(－1, 0)∪(1，＋∞)； ④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|＜2.
其中正确命题的个数是(　　)
A．1  B．2   C．3   D．4
10．据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋7  (A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)来表示(x为月份)，已知3 月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为 5万元，则国庆节期间的价格约为(　　)
A．4.2万元    B．5.6万元    C． 7万元 D．8.4万元
 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
14． 已知平面α、β和直线m，给出条件：
①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.
(1)当满足条件________时，有m∥β；
(2)当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号)
15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且a cosC＋c cosA＝b sinB，则 角C的大小为________．
16． 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．（本题满分12分）
在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1, 2a2＋2, 5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

18．（本题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.
(1)求证：CF∥平面AB1E；
(2)求三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高．

19．（本题满分12分）
已知函数f(x)＝2sinπx6＋π3(0≤x≤5)，点A、B分别是函数y＝f(x)图象上的最高点和最低点．
(1)求点A、B的坐标以及OA→•OB→的值；
(2)设点A、B分别在角α、β的终边上，求tan(α－2β)的值．

20．（本题满分12分）
已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．

21．（本题满分12分）
已知函数f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间与极值；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,点E为圆I与边CA的切点.

(1)求证A,I,H,E四点共圆;
(2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．
在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.

24．（本小题满分10分）选修4－ 5：不等式选讲
若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，求a的取值范围．

 
银川九中2015届高三第五次模拟考试数学（文科）试卷参考答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D　 A B A A A A A B D C D
13.    20    ；  14.    ③⑤   ，  ②⑤     ；      15.  π6     ；    16.   　x216＋y28＝1 
试题解析：
1．D　“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.
2．A　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
3．B　可以通过观察正方体ABCD－A1B1C1D1进行判断，取BC1为直线m，平面ABCD为平面α，由AB，CD均与m垂直知，选项A错；由D1C1与m垂直且与α平行知，选项C错；由平面ADD1A1与m平行且与α垂直知，选项D错．故选B.
4．A　在△ABC中，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)．∵2as in B＝3b，∴2sin Asin B＝3sin B.
∴sin A＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.
 3，选A.
7．A　由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体．长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积V＝10×4×5＋9π＝200＋9π.
8．A　由题意得，双曲线的离心率e＝ca＝3，故ab＝22，故双曲线的渐近线方程为y＝±22x，选A.
9．B　 根据函数y＝f(x)是奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex(x＋1)，可知x＞0时的解析式为f(x)＝－e－x(－x＋1)，①不正确；函数有三个零点，②不正确；命题③④成立．选B.
10．D　由题意得函数f(x)图象的最高点为(3,9)，相邻的最低点为(7,5)，则A＝9－52＝2，T2＝7－3,，∴T＝8，又∵T＝2πω，∴ω＝π4，∴f(x)＝2sinπ4x＋φ＋7，
把点(3,9)代入上式，得sin3π4＋φ＝1，
∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4，则f(x)＝2sinπ4x－π4＋7，
∴当x＝10时，f(10)＝2sinπ4×10－π4＋7＝2＋7≈8.4.
11．C　因为m＋n＋2＝(m＋1)＋(n＋1)表示点A、B到准线的距离之和，所以m＋n＋2表示焦点弦AB的长度，因为抛物线焦点弦的最小值是其通径的长度，所以m＋n＋2的最小值为4.
12．D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1. ②
①－②得（x1＋x2）（x1－x2）a2＝－（y1－y2）（y1＋y2b2，∴y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝b2a2.而kAB＝0－（－1）3－1＝ 12，∴b2a2＝12，∴a2＝2b2，
∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝32，∴E的方程为x218＋y29＝1.
13．解析：方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10,3a5＋a7＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝2×10＝20.
方法二：a3＋a8＝2a3＋5d＝10,3a5＋a7＝4a3＋10d＝2(2a3＋5d)＝2×10＝20.
答案：　20
14．解析：　由两平面平行的性质，易知由③⑤⇒m∥β；由②⑤⇒m⊥β.
答案：　③⑤　②⑤
15．解析：　 ∵m⊥n，∴3cos A－sin A＝0，
∴2sinπ3－A＝0，∴A＝π3.
由余弦定理得，acos C＋ccos A＝a•a2＋b2－c22ab＋c•b2＋c2－a22bc＝b.
又∵acos C＋ccos A＝bsin B，
∴sin B＝1，∴B＝π2，∴C＝π6.答案：　π6
16．解析：　设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图，
 
则△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，解得a＝4.又离心率e＝ca＝22，故c＝22.所以b2＝a2－c2＝8，所以椭圆C的方程为x216＋y28＝1.
答案：　x216＋y28＝1
 
18．解析：　(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG，
 
∵F、G分别是AB、AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝12BB1.
∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，
∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，
∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.
(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC.
又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，
∴VA－EB1C＝13S△EB1C•AC＝13×12×1×1×1＝16.
∵AE＝EB1＝2，AB1＝6，∴S△AB1E＝32，
∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高为3VC－AB1ES△AB1E＝33.
19．解析：　(1)∵0≤x≤5，∴π3≤πx6＋π3≤7π6，∴－12≤sinπx6＋π3≤1.
当πx6＋π3＝π2，即x＝1时，sinπx6＋π3＝1，f(x)取得最大值2；
当πx6＋π3＝7π6，即x＝5时，sinπx6＋π3＝－12，f(x)取得最小值－1.
因此，点A、B的坐标分别是A(1,2)、B(5，－1)．∴OA→•OB→＝1×5＋2×(－1)＝3.
(2)∵点A(1,2)、B(5，－1)分别在角α、β的终边上，
∴tan α＝2，tan β＝－15，
∵tan 2β＝2×－151－－152＝－512，∴tan(α－2β)＝2－－5121＋2•－512＝292.
20．解析：　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，
故可设l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由y2＝8xx＝y＋m得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝y1y2264＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，
∴l2：x＝y＋8，M(8,0)，
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝12•|FM|•|y1－y2|
＝3 y1＋y22－4y1y2＝245.
21．解析：　(1)∵f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，x∈(0，e]，
令f′(x)＞0，得22＜x＜e，
f′(x)＜0，得0＜x＜22，
∴f(x)的单调增区间是22，e，单调减区间为0，22.
∴f(x)的极小值为f22＝12－ln22＝12＋12ln 2.无极大值．
(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]有最小值3，
f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x.
①当a≤0时，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上单调递减，
∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝4e2(舍去)．
②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ 12a，
(ⅰ)当0＜ 12a＜e，即a＞12e2时，f(x)在0， 12a上单调递减，
在 12a，e上单调递增，∴f(x)min＝f 12a＝12－ln12a＝3，得a＝e52.
(ⅱ)当12a≥e，即0 ＜a≤12e2时，x∈(0，e]时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(0，e]上单调递减，
∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝4e2(舍去)，此时f(x)无最小值．
综上，存在实数a＝e52，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.
22.解:(1)由圆I与AC相切 于点E得IE⊥AC,结合HI⊥AH,得∠AEI=∠ AHI=90°,所以A,I,H,E四点共圆.
(2)由(1)知A,I,H,E四点共圆,所以∠IEH=∠HAI.由题意知∠HIA=∠ABI+∠BAI= ∠ABC+ ∠BAC= (∠ABC+∠BAC)=  (180°-∠C)=90°- ∠C,结合IH⊥AH,
得∠HAI=90°-∠HIA=90°-(90°- ∠C)= ∠ C,所以∠IEH= ∠C.由∠C=50°
得∠IEH=25°.
23.解　法一　(1)由ρ＝25 sin θ，得x2＋y2－25y＝0，
即x2＋(y－5)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，
即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，
故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝32，t1•t2＝4.
又直线l过点P(3，5)，
故由上式及 t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.
法二　(1)同法一．
(2)因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为：
y＝－x＋3＋5.
由x2＋(y－5)2＝5，y＝－x＋3＋5得x2－3x＋2＝0.
解得：x＝1，y＝2＋5或x＝2，y＝1＋5.不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)，
又点P的坐标为(3，5)故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.
24.解　∵a≥xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3对任意x>0恒成立，设u＝x＋1x＋3，∴只需a≥1u恒成立即可．
∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．
由u≥5，知0<1u≤15，∴a≥15.
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