福建省泉州五校2015届高三上学期摸底联考数学理试卷
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 则 为（ ）
A． B． C． D．
2．如果复数 为纯虚数，那么实数 的值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2
3. 在 中，若 ,则 的面积( )
A 、 B、 C、 D、
4．下列命题中，真命题是（ ）
A． B．
C． D．
5. 函数 的大致图像是（ ）
A B C Ｄ
1.99 3 4 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
（ ）
A. B.
C. D.
7．若 、 、 是互不相同的空间直线， 、 是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为( )
A． B
C． D．
9. 设 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕
方程式 相异实根的个数
1
3
3
1
1
关于 的极小值 ﹐试问下列哪一个选项是正确的（ ）
A. B. C. D. ﹒
10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正 三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 为中心﹐其中 ﹐ 分别为原点 到两个顶点的向量﹒若将原点 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为 的形式﹐则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11．某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的
体积是 .
12. 已知两个单位向量 ， 的夹角为30°， ， .若 ，则正实数 =____________
13. 若变量x，y满足约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，
则a－b的值是____________
14、函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线mx+ny+2=0上，其中 ，则 的最小值为
15、2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线 （ ）的两个焦点为 、 ，若 为其上一点，且 ，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若 将其中的条件“ ”更换为“ ， 且 ”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）
16.（本小题满分13分）已知向量 ， ，设函数 ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）已知锐角 的三个内角分别为 若 ， ，边 ，求边 ．
17.（本小题满分13分）已知等差数列 的各项均为正数， ，其前 项和为 ， 为等比数列, ，且 ．
(Ⅰ)求 与 ；（Ⅱ）证明 .
18.（本小题满分13分）
如图，在三棱柱 中， 是边长为 的正方形，平面 平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，
并求 的值。
19.（本小题满分13分）设椭圆E: （a,b>0），短轴长为4，离心率为 ，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。
20.（本小题满分14分）已知函数 ．
(Ⅰ)讨论函数 在定义域内的极值点的个数；
(Ⅱ)若函数 在 处取得极值，且对 , 恒成立，
求实数 的取 值范围；
(Ⅲ)当 且 时，试比较 的大小．
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应 的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换T将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与(0，－4)．
①求矩阵M；
②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝6，求l的方程．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的非负半轴重合．若曲线 的方程为 ，曲线 的参数方程为
（Ⅰ） 将 的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 为 上的动点， 为 上的动点，求 的最小值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝| x+3|－|x－2|.
①求不等式f(x)≥3的解集；
②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范围．
2014年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试
答题卡
一、选择题（本大题共10小题，共50分。）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本大题共5小题，共20分。）
11、 12 、
13、 14、
15、
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）
16.
17.
18.
19.
20.
21.
2014年秋季南侨中学、永春三中、永春侨中、荷山中学、南安三中高中毕业班摸底统一考试答案
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 则 为（ ）
A． B． C． D．
解析：∵ ∴ = ,选C.
2．如果复数 为纯虚数，那么实数 的值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．1或 －2
解析： 即 ，故选择答案A
3. 在 中，若 , 则 的面积( )
A 、 B、 C、 D、
解析：改编自2014福建理科高考12题，考查三角形的解法和面积公式，答案C
4．下列命题中，真命题是（ ）
A． B．
C． D．
解析：答案为D
5. 函数 的大致图像是（ ）
A B C Ｄ
解析：该函数为偶函数，答案为B
1.99 3 4 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了右边一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
（ ）
B. B.
C.C. D.
解析：由该表提供的信息知，该模拟函数在 应为增函数，故排除D,将 、4…代入选项A、B、C易得B最接近，故答案应选B.
7．若 、 、 是互不相同的空间直线， 、 是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：对于A， 或 异面，所以错误；对于B， 与 可能相交可能平行，所以错误；对于C， 与 还可能异面或相交，所以错误.故答案应选D
8. 如图过拋物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为( )
A． B
C． D．
【答案】B
解析:如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|
∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴ ,求得p= ，因此抛物线方程为y2=3x．
9. 设 为实系数三次多项式函数﹒已知五个方程式的相异实根个数如下表所述﹕
方程式 相异实根的个数
1
3
3
1
1
关于 的极小值 ﹐试问下列哪一个选项是正确的（ ）
A. B. C. D. ﹒
解析﹕
「方程式 的相异实根数」等于「函数 与水平线 两图形的交点数﹒」
依题意可得两图形的略图有以下两种情形﹕
(1) 当 的最高次项系数为正时﹕ (2) 当 的最高次项系数为负时﹕
因极小值点 位于水平线 与 之间﹐所以其 坐标 （即极小值）的范围为 ﹒ 故选(B)﹒
10. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 为中心﹐其中 ﹐ 分别为原点 到两个顶点的向量﹒若将原点 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为 的形式﹐则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析﹕因为想求 的最大值﹐所以考虑图中的6个顶点之向量即可﹒讨论如下﹕
(1) 因为 ﹐所以 ﹒
(2) 因为 ﹐所以 ﹒
(3) 因为 ﹐所以 ﹒
(4) 因为 ﹐
所以 ﹒
(5)因为 ﹐所以 ﹒
(6)因为 ﹐所以 ﹒
因此﹐ 的最大值为 ﹒故选D﹒
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
三、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
11．某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的体积是 .
解析：由俯视图与侧视图可知三棱锥的底面积为 ，由侧视图可知棱锥的高为2，所以棱锥的体积为 ，
13. 已知两个单位向量 ， 的夹角为30°， ， .若 ，则正实数 =____________
解析：t=1
13. 若变量x，y满足约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0，且z＝5 y－x的最大值为a，最小值为b，
a－b的值是____________
解析：本题主要考查线性规划的应用，意在考查考生对基础知识的掌握．约束条件x＋y≤8，2y－x≤4，x≥0，y≥0表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x＝4，y＝4时，a＝zmax＝5×4－4＝16；当x＝8，y＝0时，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.
14、函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线mx+ny+2=0上，其中 ，则 的最小值为
2007山东卷改编答案：4
15、2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线 （ ）的两个焦点为 、 ，若 为其上一点，且 ，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“ ”更换为“ ， 且 ”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是
答案：
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤。）
16.（本小题满分13分）已知向量 ， ，设函数 ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）已知锐角 的三个内角分别为 若 ， ，边 ，求边 ．
解：（1）
．
…………………………4分
∵ R，由 得
……… 6分
∴函数 的单调增区间为． ……………………7分
（2）∵ ，即 ，∵角 为锐角，得 ， ……… 9分
又 ，∴ ，∴
∵ ，由正弦定理 得 ……… 13分
本题由练习改编，考查向量的坐标运算，三角恒等变换，及正弦定理的应用。
17.（本小题满分13分）已知等差数列 的各项均为正数， ，其前 项和为 ， 为等比数列, ，且 ．
(Ⅰ)求 与 ；
（Ⅱ）证明 .
解：（1）设 的公差为 ，且 的公比为
…………………7分
（2） ，………9分
∴
…………………13分
19.（本小题满分13分）
如图，在三棱柱 中， 是边长为 的正方形，平面 平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）证明：在线段 上存在点 ，使得 ，并求 的值。
解：（I）因为AA1C1C为正方形，所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,
所以AA1⊥平面ABC.……… 3分
(II)由（I）知AA1 ⊥AC，AA1 ⊥AB. 由题知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC. 如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－ ,则B(0，3，0),A1(0，0，4),B1(0，3，4),C1(4，0，4)，
设平面A1BC1的法向量为 ，则 ,即 ，
令 ，则 ， ，所以 .……… 6分
同理可得，平面BB1C1的法向量为 ,所以 . 由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为 .……… 8分
(III)设D 是直线BC1上一点，且 . 所以 .解得 ， ， .
所以 .
由 ，即 .解得 .……… 11分
因为 ，所以在线段BC1上存在点D，
使得AD⊥A1B.
此时， .……… 13分
19.（本小题满分13分）设椭圆E: （a,b>0），短轴长为4，离心率为 ，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ？若存在，求出该圆的方程，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）,b=2, e=
所以解得所以 椭圆E的方程为 ……… 5分
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即 , ……… 7分
则△= ,即
② , 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 ,……… 11分
此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线 为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 .……… 13分
20.（本小题满分14分）已知函数 ．
(Ⅰ)讨论函数 在定义域内的极值点的个数；
(Ⅱ)若函数 在 处取得极值，且对 , 恒成立，
求实数 的取值范围；
(Ⅲ)当 且 时，试比较 的大小．
解：(Ⅰ) ，
当 时， 在 上恒成立，函数 在 单调递减，
∴ 在 上没有极值点；
当 时， 得 ， 得 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，即 在 处有极小值．
∴当 时 在 上没有极值点，
当 时， 在 上有一个极值点．……… 4分
(Ⅱ)∵函数 在 处取得极值，
∴ ，
∴ ，
令 ，可得 在 上递减，在 上递增，
∴ ，即 ．……… 9分
(Ⅲ)解：令 ，
由(Ⅱ)可知 在 上单调递减，则 在 上单调递减
∴当 时， > ，即 ．
当 时，
∴ ，
当 时，
∴ ……… 14分
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换T将点(2，－2)与(－4,2)分别变换成点(－2，－2)与(0，－4)．
①求矩阵M；
②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝6，求l的方程．
解 (1)设 M＝a bc d，所以a－b＝－1c－d＝－1，且－2a＋b＝0－2c＋d＝－2，
解得a＝1b＝2c＝3d＝4，所以M＝1 23 4.……… 4分
(2)因为x′y′＝1 23 4xy＝x＋2y3x＋4y
且m：x′－y′＝6，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝6，
即x＋y＋3＝0，∴直线l的方程是x＋y＋3＝0……… 7分
（3）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的非负半轴重合．若曲线 的方程为 ，曲线 的参数方程为
（Ⅰ） 将 的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 为 上的动点， 为 上的动点，求 的最小值．
解：（Ⅰ）由已知得 ，即 ………3分
（Ⅱ）由 得 ，所以圆心为 ，半径为1．
又圆心到直线 的距离为 ,…………………5分
所以 的最大值为 ．…………………………7分
（4）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)＝| x+3|－|x－2|.
①求不等式f(x)≥3的解集；
②若f(x) ≥ |a－4|有解，求a的取值范围．
解：(1) [1, + ) ……… 3分
(2) |a－4|≤5 ∴-1≤a≤9……… 7分
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