2015届高三调研测试题
数学试题（文科）
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
参考公式:
1.锥体的体积公式 ，其中S为锥体的底面面积， 为锥体的高.
2.柱体的体积公式 ，其中S为柱体的底面面积， 为柱体的高.
3. 个数据 的平均数为 ,这组数据的方差:
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）
A． B． C． D．
2. 已知 为虚数单位，复数 , ＝（ ）
A．1 B. C． D.3
3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是（ ）.
A． B. C． D.
4.已知 为第二象限角， ，则 ( )
5. 阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知两条直线 ，两个平面 ．给出下面四个命题：（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ ．
其中正确的命题序号为 （ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
7．右图是一容量为 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本
的平均重量为（ ）
A． B． C． D．
8. 设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C．3 D．
9. 过双曲线 的右焦点 作垂直于 轴的直线，交双曲线的渐近线于 两点，若 （ 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
10.记 表示不超过 的最大整数，例如 ， . 函数 ，在 时恒有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分.
(一)必做题(11～13题)
11. 设 ，向量 ， ，且 ，则 ___________.
12. 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 ————.
13．已知各项都是正数的等比数列 满足 ，若存在不同的两项 和 ，使得 ，则 的最小值是__________.
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆 ＝4cos 的圆心到直线 的距离是＿＿＿.
15.（几何证明选讲选做题）
如图，在半圆 中， 是圆 上一点， 直径 ，垂足为 ，
，垂足为 ，若 ， ，则 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本题满分１２分)
已知函数
（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）设 的三内角分别是A、B、C. 若 ，且 ,求边 和 的值.
17. (本题满分１２分)
汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2015年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税.检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）.
经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 .
(1) 求表中 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性;
(2) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过 的概率是多少？
18．(本题满分１４分)
如图， 是边长为 的正方形， 是矩形，平面 平面 , 为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求三棱柱 的体积.
19．(本题满分１４分)
已知数列 满足 ， ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）设 ，数列 的前 项之和为 ，求证： .
20．(本题满分１４分)
设 、 是焦距等于 的椭圆 的左、右顶点，曲线 上的动点 满足 ，其中 和 分别是直线 、 的斜率.
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 与椭圆 只有一个公共点且交曲线 于 两点，若以线段 为直径的圆过点 ，求直线 的方程.
21．(本题满分１４分)
已知函数 ， , .
(1)若函数 在区间 内恰有两个零点，求实数 的取值范围；
(2)若 ，设函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ,记 ,求函数 在区间 上的最小值.
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