石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理）
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2．下列函数中，在 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
3．点 与圆 的位置关系是（ ）
A.点在圆内 B.点在圆外
C.点在圆上 D.与 的值有关
4. 某程序框图如右图所示，该程序运行
输出的 值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5．以 为公比的等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6．如果实数 满足不等式组 目标函数 的最大值为6，最小值为0，则实数 的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的
是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，
最长的棱的长度为（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数 的定义域为 ，图象如图1所示；函数 的定义域为 ，图象如图2所示，方程 有 个实数根，方程 有 个实数根，则 ( )
A.6 B. 8 C. 10 D. 12
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．若复数 , ,则 ．
10. 为等差数列， ，公差 ， 、 、 成等比数列，则 ．
11．如图，在边长为2的菱形 中 ，
为 中点，则 ．
12.若抛物线 的焦点与双曲线 的焦点重合，则 的值为 ．
13. A , B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地，
则路程最短的走法有 种（用数字作答）．
14. 设 为非空实数集，若 ，都有 ，则称 为封闭集．
①集合 为封闭集；
②集合 为封闭集；
③若集合 为封闭集，则 为封闭集；
④若 为封闭集，则一定有 .
其中正确结论的序号是____________.
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
如图所示，在四边形 中， ， ， ； 为 边上一点， ， ， .
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
16．（本小题共13分）
某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.
（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；
（Ⅱ） 若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列.
17．（本小题共14分）
如图,在四面体 中, 平面 , . 是 的中点, 是 的中点.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若点 在线段 上，且满足 ,
求证： 平面 ；
（Ⅲ）若 ,求二面角 的大小.
18.（本小题共13分）
已知函数 .
（Ⅰ）若 是函数 的极值点，求 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间.
19.（本小题共14分）
已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线 交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数 的取值范围.
20．（本小题共13分）
对于数集 ，其中 ， ，定义向量集 ，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称 具有性质 ．
（Ⅰ）判断 是否具有性质 ；
（Ⅱ）若 ，且 具有性质 ，求 的值；
（Ⅲ）若 具有性质 ，求证： ，且当 时， ．
石景山区2014—2015学年第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D B B D C
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号 9 10 11 12 13 14
答案
4029 1
10 ②④
【12题只答一种情况得3分】
三、解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
（Ⅰ）设 .在 中，由余弦定理，得
…………………2分
得CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)． …………………4分
在 中，由正弦定理，得 …………………6分
（Ⅱ）由题设知 ，所以 …………………8分
而 ，所以
. ………………11分
在 中， . …………………13分
16．（本小题共13分）
（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件 ，依题意有
. …………………3分
（Ⅱ）该考生所得分数为 ，则 的所有可能取值为 . ……4分
， ……6分
， ……8分
……10分
……12分
分布列为：
……………………13分
17．（本小题共14分）
（Ⅰ） , ………………2分
且
………………4分
（Ⅱ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点，
所以 且 ；
取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC,
所以, 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，
所以 ，且 ,
所以PQ//面BDC. ……………………9分
(III)如图建系,
则 , , , ……………………10分
设面 的法向量
,
,即
令 ,则
设面 的法向量 ……………………11分
即
令 , 则 ……………………12分
所以二面角 的大小为 …………………14分
18.（本小题共13分）
（Ⅰ）函数 的定义域为 . ………………1分
. ………………3分
因为 是函数 的极值点，所以 .…………5分
解得 或 .
经检验， 或 时， 是函数 的极值点. ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： .
由 ，令 ，解得 .……9分
当 时， 的变化情况如下表
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
∴函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；…………11分
当 时， 的变化情况如下表
+ 0 -
↗ 极大值 ↘
∴函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .…13分
19．（本小题共14分）
（Ⅰ）由题意知 ，解得 ，
椭圆的标准方程为： . ………………4分
（Ⅱ）设
联立 ，消去 ，得： ……6分
依题意：直线 恒过点 ，此点为椭圆的左顶点，
所以 ， ----① ，
由（*）式， -------②，
可得 ---- ③ ， ………………8分
由①②③， ， ………………10分
由点B在以PQ为直径的圆内，得 为钝角或平角，即 .
. …12分
即 ，整理得 .
解得： . ………………14分
20．（本小题共13分）
（Ⅰ） 具有性质 . ……2分
（Ⅱ）选取 ，Y中与 垂直的元素必有形式 .
所以 ，从而 ……5分
（III）证明：取 .设 满足 .
由 得 ，所以 、 异号.
因为 是X中唯一的负数，所以 、 中之一为 ，另一为 ，
故 . ……8分
假设 ，其中 ，则 .
选取 ，并设 满足 ，
即 ，则 , 异号，从而 , 之中恰有一个为 . ……10分
若 ，则 ，显然矛盾；
若 ，则 ，矛盾.
所以 . ……13分
【注：若有其它解法，请酌情给分．】
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