北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（文史类） 2015.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设 为虚数单位，则复数 的模 =
A. 1 B. C. D.
2. 已知全集 ，若集合 ，则
A. ，或 B. ，或 C. D.
3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A. B. C. D.
4.执行如右图所示的程序框图,则输出的 的值是
A.3 B.4 C.5 D.6
5.若 是两个非零的平面向量，则 “ ”是“ ”的
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 如图，塔 底部为点 ，若 两点相距为100m并且与点 在同一水平线上，现从 两点测得塔顶 的仰角分别为 和 ，则塔 的高约为（精确到0.1m， ， ）
A. 36.5 B. 115.6 C. 120.5 D. 136.5
7.已知定义在 上的函数 若直线 与函数 的图象恰有两个公共点，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体中 ， 为 的中点，点 在四边形 及其内部运动．若 ，则 点的轨迹为
A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D.双曲线的一部分
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．
9. 双曲线 的离心率是 ；渐近线方程是 ．
10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表
如下:
按家庭人均月收入分组(百元) 第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
频率 0.1 0.2 0.15
0.1 0.1
则这80户居民中, 家庭人均月收入在 元之间的有 户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是 .
11. 已知圆 的圆心位于第二象限且在直线 上，若圆 与两个坐标轴都相切，则圆 的标准方程是 ______.
12. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢， 则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有 人.
13. 在平面直角坐标系中，若关于 的不等式组 表示一个三角形区域，则实数 的取值范围是______.
14. 设 （ ），若无论 为何值，函数 的图象总是一条直线，则 的值是______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15. （本小题满分13分）
某幼儿园有教师 人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
本科 研究生 合计
35岁以下 5 2 7
35～50岁（含35岁和50岁） 17 3 20
50岁以上 2 1 3
（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；
（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.
16. （本小题满分13分）
已知平面向量 ， ， ， ，
函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
17. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ．点 是线段 的中点，点 是线段 上的动点．
（Ⅰ）若 是 的中点，求证： //平面 ；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）若 ， ，当三棱锥 的体积等于 时，试判断点 在边 上的位置，并说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知公比为 的等比数列 中， ，前三项的和为 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，设数列 满足 ， ,求使 的 的
最小值.
19. （本小题满分13分）
已知函数 ， .
（I）若 是 的极值点，求 的值：
（Ⅱ）当 时，求证： .
20. （本小题满分14分）
已知离心率为 的椭圆 与直线 相交于 两点（点 在 轴上方），且 ．点 是椭圆上位于直线 两侧的两个动点，且 ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）求四边形 面积的取值范围．
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学答案（文史类） 2015.1
一、选择题：（满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B C D B A
二、填空题：（满分30分）
题号 9 10 11 12 13 14
答案 ；
22
4
（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：（满分80分）
15. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设：“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件 ，
由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.
则 .
答：从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为 . ………4分
（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为 ， ，35～50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为 ， ， ， 50岁以上具有研究生学历的教师为 ，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），
（ ， ），
记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件 ，则 中的结果共有12个，它们是：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），故所求概率为 ．
答：从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为 . ………………13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）因为 ， ， ，
所以 ，
= .
则 = .
则当 时，即 时，
函数 为减函数， .
所以函数 的单调递减区间是 ， .
………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，又 ，
则 ， .
因为 ，所以 .
.
所以当 时， ；
当 时， .
………………13分
17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
在 中，因为点 是 中点，点 是 中点，
所以 // ．
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．…………4分
（Ⅱ）证明：
因为 平面 ，
且 平面 ，
所以 ．
又因为底面 是正方形，且点 是 的中点，
所以 ．
因为 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 ． …………9分
（Ⅲ）点 为边 上靠近 点的三等分点．
说明如下：
由（Ⅱ）可知， 平面 ．
又因为 平面 ， 平面 ，所以 .
设 ． 由 得 ， ，
所以 ．
由已知 ， 所以 ．
因为 ，所以点 为边 上靠近 点的三等分点．…………14分
18. （本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知得， ，解得 ， 或 ， ．
则数列 的通项公式为 或 ， ……………5分
（Ⅱ）因为 ，所以 ， .
， .
由 ，即 ，即 ，即
即 .则使 的最小的 的值为 ． …………………13分
19. （本小题满分13分）
（I）函数 的定义域为 .
因为 ,
又 是 的极值点,所以 ，解得 .
经检验， 是 的极值点，
所以 的值为 . ………5分
（Ⅱ）证明：
方法1：
当 时， .
所以 .
若 ，则 ，所以 ，所以 .
所以函数 在 单调递减.
若 ，则 ，所以 ，所以 .
所以函数 在 单调递增.
所以当 时， .
( 时， ; 时， .)
所以 . ………13分
方法2：
当 时， ，
所以 .
设 ，则 ，所以 在 单调递增.
又 ，所以当 时， ，即 ，所以 在 单调递减；
当 时， ，即 ，所以 在 单调递增.
（接下来表述同解法1相应内容）
所以 . ………13分
20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得 ，则 ，设椭圆方程为
由题意可知点 在椭圆上，
所以 ．解得 ．
故椭圆 的标准方程为 ． ………4分
（Ⅱ）由题意可知，直线 ，直线 的斜率都存在且不等于0．
因为 ，所以 ．
设直线 的斜率为 ，则直线 （ ）．
由 得 ……(1).
依题意，方程（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式 成立.
即 ,
化简得 ，解得 .
因为 是方程（1）的一个解，所以 ．
所以 ．
当方程（1）根的判别式 时， ，此时直线 与椭圆相切.
由题意，可知直线 的方程为 ．
同理，易得 ．
由于点 是椭圆上位于直线 两侧的两个动点， ，
且能存在四边形 ，则直线 的斜率 需满足 .
设四边形 面积为 ，则
由于 ，故
.
当 时， ，即 ，即 .
(此处另解：设 ，讨论函数 在 时的取值范围.
，则当 时， ， 单调递增.
则当 时， ，即 .)
所以四边形 面积 的取值范围是 . ………14分
点击下载：北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学文试题
