大同一中、同煤一中2015届高三上学期期末联合考试
理科数学试题
第Ⅰ卷 客观卷（共60分）
一、选择题：（每小题5分，共60分。）
1． 已知集合 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
2． 若复数z满足 ，则z的虚部为( )
A． B． C．4 D．
4． 设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．已知等差数列 ，满足 ，则数列 的前13项之和为
A．24 B．39 C．52 D．104
6．已知函数 ，且 ，则函数 的图象的一条对称轴是
A． B． C． D．
7．如图所示，用过A1、B、C1和C1、B、D的两个
截面截去正方体ABCD－A1B1C1D1的两个角后得
到一个新的几何体，则该几何体的正视图为（ ）
8．在△ABC中，已知向量 与 满足 ，且 ，则△ABC为
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
9．已知双曲线 ( ， )的左、右焦点分别为 、 ，以 、 为直径的
圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线的方程为
A． B． C． D．
10．已知 、 表示两条不同直线， 表示平面．下列四个命题中，正确的个数是( )
① 若 ， ，则 ② 若 ， ，则
③ 若 ， ，则 ④ 若 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．1
11．设 ， ，且 ，则
A． B． C． D．
12．已知函数 的图象与直线 恰好有一个交点．设 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 主观卷（共90分）
二、填空题 (每小题5分，共20分)
13．已知 ，则 ．
14．已知 、 、 、 ，则向量 在 方向上的投影为 ．
15．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ．
16．如图，已知点F为抛物线 的焦点，点P是其准
线l上的动点，直线PF交抛物线C于A、B两点。若点P
的纵坐标为 ( )，点D为准线l与x轴的交点，
则△DAB的面积S的取值范围为 ．
三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分) 如图，在平面四边形ABCD中， 、 、 ，
(1) 求 的值；
(2) 若 ， ，求BC的长．
18．(12分) 设 为数列 的前n项的和，已知 ， ，
(1) 求 、 ，并求数列 的通项公式；
(2) 求数列 的前n项和．
19．(12分) 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平
行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD
(1) 证明：PA⊥BD；
(2) 设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．
20．(12分) 如图，椭圆 ( )的离心率 ，短轴的两个端点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1 B1F2 B2的内切圆半径为
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 过左焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，
交直线 于点P，设 ，
，试证 为定值，并求出此定值．
21．(12分) 设函数 ( ) ( 是一个无理数)
(1) 若函数 在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；
(2) 设函数 的两个极值点为 和 ，记过点 、 的直线
的斜率为k，是否存在a， 使得 ？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．
22．(10分) 已知曲线 的参数方程是 ( 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ，正方形ABCD的顶点都在 上，且A、B、C、D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 ，
(1) 求点A、B、C、D的直角坐标；
(2) 设P为 上任意一点，求 的取值范围．
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