眉山市高中2015届第一次诊断性考试
数 学（理工类） 2015.01
注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5. 考试结束，将答题卡上交.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合 ，且集合A的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A有
A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
2．下列说法错误的是
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确
定的平面也两两垂直；
D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条
直线一定平行.
3． 的展开式中含 的奇次方项的系数和等于
A． 44 B．25 C． 41 D． 40
4．若 为实数，则下列命题正确的是
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5．阅读右侧程序框图，如果输出 ，那么在空白
矩形框中应填入的语句为
A. B.
C. D.
6．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积是
A．4+26 B．4+6 C．4+22 D．4+2
7．已知向量 是与单位向量 夹角为 的任意向量，则对任意的正实数 ， 的最小值是
A．0 B． C． D．1
8．下列命题正确的是
①若 ，则 ；
②函数 的对称中心是 （ ）；
③“ ”的否定是“ ”；
④设常数a使方程 在闭区间[0,2 ]上恰有三个解 ，
则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
9．函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25， 则 可以是
A. B.
C. D.
10．若存在 ，使 成立，则称 为函数 的一个“生成点”.已知函数 的“生成点”坐标满足二次函数 ，则使函数 与 轴无交点的 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.
11．若 ，则复数 .
12．已知 、 满足约束条件 ，则 的最小值是 .
13．2014年某地春季高考有10所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方式有 种.
14．有两个等差数列2，6，10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为 .
15．在下列命题中
①函数 的最小值为 ；
②已知定义在 上周期为4的函数 满足 ，则 一定为偶函数；
③定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)=0
④已知函数 ，则 是 有极值的必要不充分条件；
⑤已知函数 ，若 ，则 .
其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）.
三、解答题: 本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．(本小题满分12分)
在 中，角 的对边分别是 ，若 .
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）若 ， 的面积为 ，求 的值.
17．(本小题满分12分)
某用人单位招聘员工依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核.规定：只能通过前一轮考核后才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过. 小王三轮考核通过的概率分别为 ， ， ，且各轮考核通过与否相互独立.
（Ⅰ）求小王通过该招聘考核的概率；
（Ⅱ）若小王通过第一轮考核，家长奖励人民币1200元；若小王通过第二轮考核，家长再奖励人民币1000元；若小王通过第三轮考核，家长再奖励人民币1400元.记小王得到奖励的金额为 ，求 的分布列和数学期望.
18．(本小题满分12分)
已知单调递增的等比数列 满足： ，且 是 的等差中项.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ， ，求 成立的正整数 的最小值.
19．（本题满分12分）
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1，
侧棱AA1⊥平面ABC，O、D、E分别是棱AB、A1B1、
AA1的中点，点F在棱AB上，且 ．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求证：平面OCC1D⊥平面ABB1 A1；
（Ⅲ）求二面角E－BC1－D的余弦值．
20．（本题满分13分）
已知函数 为常数．
（Ⅰ）当 时，求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若 在区间 上的最大值为 ，求 的值；
（Ⅲ）当 时，试推断方程 = 是否有实数解．
21．（本题满分14分）
已知函数 , ,其中 且 ．
（Ⅰ）判断函数 的单调性；
（Ⅱ）当 时,求函数 在区间 上的最值；
（Ⅲ）设函数 当 时,若对于任意的 ,总存在唯一的 ,使得 成立,试求 的取值范围．
眉山市高中2015届第一次诊断性考试
数学（理工类）参考答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D D B A A C D C B
二、填空题：
11. 12. 13. 14. 15.
2+i -6 270 1472 ②③⑤
三、解答题：
16、解（1）∵ ，由正弦定理得： ，
∴
∵ ，∴ ∴ ， 又
∴ ； ………………………………………………………………………………… 6分
（2）方法一：∵ ， 的面积为 ，∴ ∴ ， … 8分
，即 ， ………………………………………… 9分
， …………………………………………………………10分
∴ . …………………………………………12分
方法二：
………………………………12分
17、解（1）设“小王通过招聘考核”为事件A，则P(A)＝
所以小王通过招聘考核的概率为 ……………………………………………………4分
（2） 的可能取值为0元，1200元，2200元，3600元 ……………………………5分
，
，
…………………………………………………………9分
所以， 的分布列为
0 1200 2200 3600
P
数学期望为 （元） ……12分
18、解（1）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，以题意有：
代入 ，得
∴ ……………………………………………………………………… 3分
解之得： …………………………………………………………… 5分
又∵ 单调递增，∴
∴ ………………………………………………………………………………… 6分
(2) …………………………………………………………… 7分
∴ ①
∴ ②
∴②-①得：
= …………………………………………………………………………9分
由 得 ，∴ >52.
又当 时， ＜52
当 时， ﹥52
故使 成立的正整数 的最小值为5 ………………………………12分
19、
（Ⅰ）证明：如图1，连接OA1，O为AB的中点，且
所以，AF=FO，又E为A A1的中点
所以，EF∥OA1¬ 2分
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB且A1B1=AB
因为，O、D分别为AB、 A1B1中点
所以，OB∥A1D且OB=A1D
所以，OBDA1为平行四边形
所以，OA1∥BD 3分
所以，EF∥BD，又EF 平面BDC，BD 平面BDC
所以，EF∥平面BDC1． 4分
（Ⅱ）证明：如图1，因为，AA1⊥平面ABC，OC 平面ABC
所以，AA1⊥OC 5分
因为，AB=BC，O为AB中点
所以，OC⊥AB，又AB、AA1 平面ABB1 A1，AB AA1=A 6分
所以，OC⊥平面ABB1 A1，又OC 平面OCC1D
所以，平面OCC1D⊥平面ABB1 A1． 8分
（Ⅲ）解法一，如图2建立空间直角坐标系O—xyz，设AB=2
则
9分
所以，
设平面EBC1的法向量为
则
取 10分
设平面DBC1的法向量为
则
取 11分
所以，
故，所求二面角E－BC1－D的余弦值为 ． 12分
（Ⅲ）解法二，如图1，在三棱柱ABC－A1B1C1中
因为，O、D分别为AB、 A1B1的中点
所以，OD平行且等于AA1，AA1平行且等于CC1，
所以，CODC1为平行四边形
所以，C1D∥CO，由（Ⅱ）知，OC⊥平面ABB1 A1
所以，C1D⊥平面ABB1 A1
所以，面C1DB⊥平面ABB1A1 9分
过E作EG⊥BD于G，过G作GH⊥B C1于H，连接EH
所以，EG⊥平面BDC1
所以，EG⊥GH，EG⊥BC1
所以，BC1⊥平面EGH
所以，BC1⊥EH
所以， 为所求二面角E－BC1－D的平面角 10分
设AB=2，连接DE
所以，BE=BD= ，DE=
所以， ，所以， ，所以，
因为， ，又 ,所以
所以， 11分
∴ 所求二面角E－BC1－D余弦值为 ． 12分
20、解：（Ⅰ）由已知知道函数 的定义域为 1分
当 时， ，所以 2分
当 时， ；当 时，
所以， 的单调增区间为 ，减区间为 ． 4分
（Ⅱ）因为， ，令 解得 5分
由 解得 ，由 解得
从而 的单调增区间为 ，减区间为 6分
所以，
解得， ． 8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当 时， ，
所以， ≥1 9分
令 ，则
当 时， ；当 时，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减
所以， 11分
所以， ，即
所以，方程 = 没有实数根． 13分
21、解:(Ⅰ)依题意, 1分
① 当 时, 或
所以 在 上单调递增;在 上单调递减 2分
② 当 时, 或
所以 在 上单调递减;在 上单调递增． 3分
(Ⅱ)当 时,
在 上单调递减 4分
由(Ⅰ)知, 在 上单调递减 5分
所以 在 上单调递减 6分
7分
． 8分
(Ⅲ)当 , 时, ,
由(Ⅰ)知 在 上单调递减,
从而 ,即 9分
当 , 时, ,在 上单调递增,
从而 ,即 10分
对于任意的 ,总存在唯一的 ,使得 成立,
只需 ,即 成立即可. 11分
记函数 ,易知 在 上单调递增,且
13分
所以 的取值范围为 ． 14分
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