2015届高三年级调研测试
数 学（理 科）
本试卷共4页，共21小题，满分150分. 考试用时120分钟.
参考公式：
1. 棱锥的体积公式： ， 是棱锥底面积， 是棱锥的高.
2. 个数据 的平均数为 ,这组数据的方差:
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. ．已知集合 ， ，下列结论成立的是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为虚数单位，复数 在复平面对应点 在（ ）
A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D. 第四象限
3. 设 ，向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B. C． B. D.
4. 已知 为第二象限角， ，则
5. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A． B．
C． D． m]
6. 过双曲线 的右焦点 作垂直于 轴的直线，交双曲线的渐近线于 两点，若 （ 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为 ( )
A． B． C． D．
7. 如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的
侧面积为（ ）
A． B． C． D．
8. 记 表示不超过 的最大整数，函数 ，
在 时恒有 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9~13题）
9. 数列 满足 , ,且前 项之和等于 ,则该数列的通项公式
10. 展开式中的常数项为________________(具体数字作答).
11. 已知 ， 满足 则 的最小值 ___________．
12. 若不等式 解集是空集，则实数 的取值范围是_________.
13. 在平面直角坐标系中，有一个以 为顶点，边长为1的正方形 ，其中 ,曲线 与 在正方形内围成一小片阴影，在正方形内任取一点 ，则点 取自阴影部分的概率为________.
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆 上的动点 到直线 的距离最小值是 .
15. （几何证明选讲选做题）如图，在半圆 中， 是圆 上一点，直径
，垂足为 ， ，垂足为 ，若 ， ，则 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数 的最小正周期和最大值；
（2）设 的三内角分别是A、B、C. 若 ，且 ,求 的值.
17. （本小题满分12分）
某校为了响应《中共中央国务院关于加强青少年体育增强青少年体质的意见》精神，落实“生命—和谐”教育理念和阳光体育行动的现代健康理念，学校特组织“踢毽球”大赛，某班为了选出一人参加比赛，对班上甲乙两位同学进行了 次测试，且每次测试之间是相互独立.成绩如下：（单位：个/分钟）
甲 80 81 93 72 88 75 83 84
乙 82 93 70 84 77 87 78 85
（1）用茎叶图表示这两组数据
（2）从统计学的角度考虑，你认为选派那位学生参加比赛合适，请说明理由？
（3）若将频率视为概率，对甲同学在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩高于 个/分钟的次数为 ，求 的分布列及数学期望 .
（参考数据： ，
）
18. （本小题满分14分）
如图， 是边长为 的正方形， 是矩形，平面 平面 , 为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求二面角 的正切值.
19.（本小题满分14分）
已知数列 满足 ， ， ．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求证： .
20.（本小题满分14分）
设 、 是焦距为 的椭圆 的左、右顶点，曲线 上的动点 满足 ，其中， 和 是分别直线 、 的斜率.
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 与椭圆 只有一个公共点且交曲线 于 两点，若以线段 为直径的圆过点 ，求直线 的方程.
21.（本小题满分14分）
已知函数 ， ， ；
（1）设 ，若 在定义域内存在极值，求 的取值范围；
（2）设 是 的导函数，若 ， ，
，求证： .
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