山东省济南市
2013届高三3月模拟考试
数学（理）试题
本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考试时间120分钟．满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1． 答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．
2． 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上．
3． 第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
4． 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．已知复数 （ 是虚数单位），它的实部和虚部的和是
A．4 B．6 C．2 D．3
3．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种
树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，
用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高
度的平均数 、 和中位数 进行比较，下面
结论正确的是
A． B．
C． D．
4．已知实数 满足 ，则目标函数 的最小值为
A． B．5 C．6 D．7
5．“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数 的图象是
A． B． C． D．
7．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为
A． B．
C． D．
8．二项式 的展开式中常数项是
A．28 B．-7
C．7 D．-28
9．已知直线 与圆 相交于
两点，且 则 的值是
A． B． C． D．0
10．右图是函数 在区间
上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将
的图象上所有的点
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的 倍，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
11．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为
A． B．
C． D．
12．设 ,
则下列关系式成立的是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．
13．若点 在直线 上，其中 则 的最小值为 ．
14．已知抛物线 的焦点 恰好是双曲线 的右顶点，且渐近线方程为 ，则双曲线方程为 ．
15．函数 的部分图象如
图所示，设 是图象的最高点， 是图象与
轴的交点，则 ．
16．已知 则函数
的零点个数为 ．
三、解答题:本大题共6小题，共74分．
17． （本题满分12分） 已知 ， ，且 ．
（1）将 表示为 的函数 ，并求 的单调增区间；
（2）已知 分别为 的三个内角 对应的边长，若 ，且 ， ，求 的面积．
18．（本题满分12分）已知四棱锥 的底面 是等腰梯形， 且
分别是 的中点．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值．
19． （本题满分12分）
数列 的前 项和为 ， ， ，等差数列 满足 ．
（1）分别求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求证 ．
20．（本题满分12分）
某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为 ，参加第五项不合格的概率为
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为 ，求 的分布列和期望．
21．（本题满分13分）设函数 ．
（1） 求 的单调区间与极值；
（2）是否存在实数 ，使得对任意的 ，当 时恒有 成立．若存在，求 的范围，若不存在，请说明理由．
22．（本题满分13分）已知椭圆 的离心率为 ,且过点 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线A C、BD过原点O，若 ,
（i） 求 的最值．
（ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值；
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